2021年中国科学技术大学自主招生数学试卷(少年创新班）

2021 年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（少年创新 班） 一、填空题（本大题共 5 小题） 1、设� ∈ �，关于�的方程�4 − 4� − 50 �2 + �2 = 0有四个实数解且成等差数列，则 � = ． 2、棱长为 1的正方体����− �1�1�1�1中，���1�1与���1�1公共部分的体积 为 ． 3、若直线 � � + � � = 1(� > 0, � > 0)与曲线� = 4 �相切，则� + �的最小值 为 ． 4、若�2 + �2 = �2 + �2 + 3�� = �2 + �2 + �� = 16，则 2�� + �� + 3�� = ． 5、一个小球在 0，1，2，⋯，�这� + 1个位置移动，小球向前向后移动一个单位的概率都为 1 2．若在 0处，则小球只能向前移动，若初始位置在 0处，则首次移动到�的步数的期望 为 ． 二、解答题（本大题共 4 小题） 6、在△���中，证明： 3 2 cos  � + cos  � + 3cos  �⩽2． 7、对∀�，� ∈ �，有� � + � = � � cos  � + � � � � 2 − � ，求� � 解析式． 8、已知�0 � = 1，�1 � = �，�� � = ��−1 � 2−2�−1 ��−2 � ，证明�� � 为�次整系数多项式，并求 �� � = 0的所有根． 9、证明�为无理数当且仅当∀� ∈ �∗，∃� ∈ �，使 0 < �� < 1 � ． 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 1 、【答案】 75; 【解析】 设四个实数解为− �2，− �1，�1，�2，且�12 < �22， 则有�2 − �1 = 2�1， �12 + �22 = 4� − 50， �12�22 = �2， 可知� > 25 2 ， 有 10�12 = 4� − 50， 9�14 = �2， 可得 10� 3 = 4� − 50， 所以� = 75． 2 、【答案】 16; 【解析】 易知公共部分为正方体六个面中心所围成的几何体，如下图所示： 可知� = 1 3 × 1 × 1 2 = 1 6 ． 3 、【答案】 9; 【解析】 当相切时，有 � � = 2� � � �+ 4 � � = 1 ，可得��2 = 108， 所以� + � = � + � 2 + � 2 ⩾3 3 ��2 4 ⩾9，当且仅当� = 3，� = 6取等号． 4 、【答案】 16 3; 【解析】 �，�，�应该是正数，构造如下边长为 4的等边△���，满足�� = �，�� = �，�� = 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 希 望 学 | 筑 梦 计 划 �， ∠��� = �2，∠��� = 2� 3 ，∠��� = 5� 6 ， 则可知 2�� + �� + 3�� = 4 �△��� + �△��� + �△��� = 4�△��� = 16 3． 5 、【答案】 �2; 【解析】 设首次从�到�的步数期望为��，则有�� = 1 2 (��+1 +1) + 1 2