2023年九年级中考复习数学 最短路径问题专题学习讲义

最短路径问题专题学习 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点（两定一动） 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+ PB的最小。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+PB的最小值为AB′。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最大值为AB。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最大值为AB′。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。 的最小值为0。 模型实例 1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。 2．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 。 3．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则的最大值是多少？ 5．如图，点C的坐标为（3，），当△ABC的周长最短时，求的值。 6．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____． 7、如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________． 8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（） A． B． C． D． 模型2 角到定点（一定两动，两动两定） 模型 作法 结论 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接 P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 △PCD周长最小为P′P"。 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。 PC+CD的最小值为P′C。 点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N． 两点之间线段最短． AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． 1．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值。 2．