不等式恒成立的方法专项练--2023届高考数学二轮备考

不等式恒成立的方法 1．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D． 5．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（    ） A． B． C． D． 10．设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 11．已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的图像在轴上的截距为，且关于直线对称，若对任意的，都有，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 13．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 14．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 16．已知正数满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．(-4，2) D． 17．已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则实数的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D．1 参考答案： 1．C 依题意得对恒成立，  令 ， 又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ， 故实数的取值范围是， 2．D 因为、，由已知可得， 因为，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为， 3．D 解：恒成立， 即，对任意得恒成立， 令，， 当时，，不符题意，故， 当时，函数在上递增， 则， 解得或（舍去）， 当时，函数在上递减， 则， 解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值范围是. 4．C 由题意，易知a>1. 在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象. 若y＝logax过点(2，1)，则loga2＝1， 解得a＝2. 因为当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立， 所以函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 如图所示：a的取值范围是(1，2]. 5．B 由题意，函数其中， ①当时，，此时对于，恒成立，符合题意； ②当时，要使得对于，恒成立， 则满足，解得，即； ③当时，函数的开口向下，且对称轴的方程为， 可得函数在区间单调递减， 要使得对于，恒成立，则满足，解得， 即， 综上可得，实数的取值范围是. 6．A 当时，不等式化为恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需，解得， 综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是． 7．C 解：， 即， 即 又 当且仅当“”，即“”时等号成立， 即， 故. 8．D 解：当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立， 即等价于； 而因为，故,当且仅当，即时取得最大值. 故. 9．D 原不等式等价于， 即对任意x恒成立. ， 所以，解得， 10．A 若对于任意的，恒成立, 即可知：在上恒成立, 令，对称轴为. 当时，恒成立， 当时，有开口向下且在上单调递减， 在上，得， 故有. 当时，有开口向上且在上单调递增 在上， ∴    综上，实数的取值范围为， 11．A 因为，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立. 令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立. 因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立. 设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是. 12．B 由已知得，，，则，当时，，所以，则，解得，故选B. 13．A ∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件, 14．B ，是单位向量，由得：， 依题意，不等式对任意实数恒成立，则， 解得，而，则， 又，函数在上单调递减，因此， 所以向量，的夹角的取值范围为. 15．A 解：因为，， 所以， 所以对任意都恒成立，