专题09 函数与导数典型大题-2023年新高考数学经典模拟考前定心练（新高考地区专用）

专题09 函数与导数典型大题 一、解答题 1．（2023·江苏南通·二模）已知函数． (1)若，，求实数a的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【解析】（1）依题意，.            ①当时，在上，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题设.         ②当时，令，得，解得，， 所以当时，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题设. ③当时，判别式，所以， 所以在上单调递增，所以. 综上，实数a的取值范围是. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点. 由（1）知，，，则. 综上，要证，只需证， 因为 ， 设，.         所以， 所以在上单调递增，所以. 所以，即得成立． 所以原不等式成立. 2．（2023·江苏·二模）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调递增区间 (2)若函数在的最小值为，求的最大值． 【解析】（1）当时，， 则， 令，在R上单调递增， 当时，，当时，， 即在上递减，在上递增， 故， 所以恒成立，仅当时取等号， 即的单调递增区间为 （2） 当时，时，，时，， 则在取得最小值，符合题意； 当时，时，，时，， 时，， 因为最小值为，所以得，即； 当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意； 当时，时，，时，， 时，， 则有，不合题意； 综上可得，的最大值 ． 3．（2023·江苏·统考一模）已知，函数，. (1)若，求证：仅有1个零点； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当，， 时，， 所以在上单调递增，且， 所以仅有1个零点. （2）， 当时，，在上单调递增，此时仅有1个零点0； 当时，时，设， 则，所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增， 时，， ，所以在上单调递减，此时仅有1个零点0； 当时，， 由上知在上单调递增，在上，， 所以存在，使得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 要使有两个零点，则， 此时； 当时，由上知在上单调递减， 且在上单调递减，， 时，，则， 所以存在使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 时，， 所以，所以在上有1个零点，此时有两个零点. 综上，的取值范围为 4．（2023·江苏·统考一模）已知定义在上的两个函数，. (1)求函数的最小值； (2)设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值. 【解析】（1）因为，， 所以，，则，令，解得， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； （2）由，可得， 作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点， 设， 则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且， 所以， 由，可得，且， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 设，则，函数在上单调递增， 又，则， 解得，则，即， 所以. 5．（2023·江苏泰州·统考一模）已知函数和有相同的最大值. (1)求实数； (2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 【解析】（1），令. 有最大值，且在上单调递增上单调递减，. 时，， 当时，单调递增；当时，单调递减， . （2）由，由， 令, 当时，，当时，， 所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点. 令， 当时，，所以； 当时，由， 设，， 所以当时，， 所以在单调递增，所以， 所以，且，所以， 设 当时，，当时，， 所以在上单调递减，方程无解， 当时，由在上单调递增， 方程有唯一解， 当时，注意到， 设，对恒成立， 所以， 所以当时，，即， 因为，所以，，所以， 所以， 在和上各有一个零点， 示意图 如下注意到， 令，，即函数在上单调递减， 因此，即有， 在和上各有一个零点. 且由，而， 而在上单调递增，由， 由，而 而在上单调递减，由， 于是得， ，证毕! 6．（2023·广东·统考一模）已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）方法一：由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记， 则， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得， 即当时，，此时；当时，，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 即， 所以， ①当时， 因为，所以不等式恒成立， 所以； ②当时， 因为存在，使得，而， 此时不满足， 所以无解. 综上所述，. 方法二：由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所