【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题16 其他竞赛综合 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题16 其他竞赛综合 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2018·全国·高三竞赛）已知函数的定义域为，函数的定义域为，则、应满足 A． B． C． D． 2．（2020·北京·高三校考强基计划）已知实数a，b满足，设的所有可能取值构成的集合为M，则（    ） A．M为单元素集 B．M为有限集，但不是单元素集 C．M为无限集，且有下界 D．M为无限集，且无下界 3．（2019·全国·高三竞赛）在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、1个体的中心点,这27个点中,共球面的8点组的个数是. A．4462 B．4584 C．4590 D．4602 4．（2018·全国·高三竞赛）已知区域与的面积分别为、（其中，表示不大于的最大整数），则 A． B． C． D．不能比较与的大小 5．（2019·全国·高三竞赛）已知为锐角.则是的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．（2019·全国·高三竞赛）计算:=_______. 7．（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____. 8．（2018·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫. 设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________. 9．（2019·全国·高三竞赛）把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即．观察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素________． 10．（2018·全国·高三竞赛）设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________． 11．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．若圆台的高为，是下底面与夹角为的直径，则异面直线、所成角的余弦值为________． 12．（2019·全国·高三竞赛）设为常数.若对一切，有，则实数的取值范围是____. 13．（2021·全国·高三竞赛）若，则的值为_______． 14．（2021·全国·高三竞赛）若一个分数（a，b均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例如，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为________. 15．（2021·江苏·高三强基计划）使得等式成立的实数a的值为______________． 16．（2018·全国·高三竞赛）设．且满足．则的最小值是________． 17．（2019·全国·高三竞赛）已知函数与轴有两个不同的交点，并且，则的值是______． 18．（2019·全国·高三竞赛）已知、、是一个直角三角形三边之长，且对大于2的自然数，成立．则______． 19．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_____. 三、双空题 20．（2018·全国·高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误．题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得出15条边，记为，，…，.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设.第三步，由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则、、组成的三角形的最长边，也是、、组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中，第______步有错误，理由是______. 四、解答题 21．（2019·全国·高三竞赛）设异面直线、成角，它们的公垂线段为，且，线段的长为4，两端点、分别在、上移动.求线段中点的轨迹方程. 22．（2018·全国·高三竞赛）已知自然数有20个正整数因子（包括1和本身），它们从小到大依次记作，，，…，，且序号为的因数为．求自然数． 23．（2018·湖南·高三竞赛）（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有.试证明该命题. （2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明. （3）将矩形ABCD进一步推广到长方体，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.