【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题14 初等数论 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题14 初等数论 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2021·北京·高三强基计划）2021年是北大建校123周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．4 B．8 C．12 D．前三个选项都不对 2．（2021·北京·高三强基计划）设a，b是正整数n的正因数，使得，则n可以等于（    ） A． B． C． D．前三个选项都不对 3．（2021·北京·高三强基计划）在十进制下的末两位数字是（    ） A．01 B．21 C．81 D．前三个选项都不对 4．（2021·北京·高三强基计划）设n为正整数，且是完全平方数，则这样的n的个数为（    ） A．1 B．2 C．无穷个 D．前三个选项都不对 5．（2021·北京·高三强基计划）设，若，则n的最小值为（    ） A．71 B．72 C．80 D．81 6．（2021·北京·高三强基计划）方程的正整数解的组数为（    ） A．0 B．2 C．无穷多 D．以上答案都不对 7．（2021·北京·高三强基计划）已知，则S的个位数字是（    ） A．4 B．5 C．7 D．以上答案都不对 8．（2021·北京·高三强基计划）方程的整数解的组数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上答案都不对 9．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（    ） A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对 10．（2021·北京·高三强基计划）设正整数，且是完全平方数，则可能的n的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 11．（2020·北京·高三强基计划）对于不小于3的正整数n，若存在正整数使得构成等差数列，其中为组合数，则称n为“理想数”．不超过2020的“理想数"的个数为（    ） A．40 B．41 C．42 D．前三个答案都不对 12．（2020·北京·高三强基计划）在的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数则最多可选因数个数为（    ） A．16 B．31 C．32 D．前三个答案都不对 13．（2020·北京·高三强基计划）方程的整数解个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．前三个答案都不对 14．（2019·北京·高三校考强基计划）已知不定方程有正整数解，则正整数n的最小值为（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 15．（2019·北京·高三校考强基计划）满足方程的有序正整数组的个数为（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 16．（2019·北京·高三校考强基计划）在十进制数下，设a是的各位数字之和，而b是a的各位数字之和，则b的各位数字之和是（    ） A．5 B．6 C．7 D．16 17．（2021·北京·高三强基计划）若为非负整数，则方程的解有（    ） A．83组 B．84组 C．85组 D．以上答案都不对 18．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 二、多选题 19．（2021·北京·高三校考强基计划）若x，y为两个不同的质数，n为不小于2的正整数且，则（    ） A．存在奇数n符合题意 B．不存在奇数n符合题意 C．存在偶数n符合题意 D．不存在偶数n符合题意 20．（2020·北京·高三校考强基计划）设的三边长a，b，c都是整数，面积是有理数，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2020·北京·高三校考强基计划）设x，y为不同的正整数，则下列结论中正确的有（    ） A．与不可能同时为完全平方数 B．与不可能同时为完全平方数 C．与不可能同时为完全平方数 D．以上答案都不正确 三、填空题 22．（2018·江西·高三竞赛）、为正整数，满足，则所有正整数对的个数为______． 23．（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_______（表示不超过实数x的最大整数）. 24．（2018·安徽·高三竞赛）设n是正整数，且满足，则n=__________. 25．（2018·全国·高三竞赛）用表示不超过实数x的最大整数.则__________． 26．（2018·山东·高三竞赛）已知，，且为方程的一个根，则的最大可能值为______． 27．（2021·全国·高三竞赛）为正整数列，满足为的最小素因子，，构成集合A，P为所有质数构成的集合，则集合的最小元素为___________． 28．（