【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题12 多项式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题12 多项式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2020·北京·高三强基计划）设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式的个数为（    ） A．99 B．133 C．150 D．前三个答案都不对 2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 3．（2018·全国·高三竞赛）已知.则多项式除以后，所得余式为（    ）. A．0 B．1 C． D． 二、填空题 4．（2020·北京·高三强基计划）已知是的2019个根，则__________． 5．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式有2020个非零实根（可以有重根），其中为非负整数，求的最小值． 6．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线：，若对于任意实数，直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围为__________. 7．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程有两个不同的实数根，则有______个不同的实数根. 8．（2021·全国·高三竞赛）若实数a，b满足则_________． 9．（2019·全国·高三竞赛）若是关于的一元三次方程的三个两两不等的复数根，则代数式的值为______． 10．（2019·全国·高三竞赛）已知实数、、、满足，，，.则______. 11．（2019·全国·高三竞赛）对，，定义．设是一个6次多项式且满足，．用表示______． 12．（2018·全国·高三竞赛）多项式的三个根成等比数列．则的值为______． 13．（2018·全国·高三竞赛）已知除多项式所得余式是.则______. 14．（2018·全国·高三竞赛）已知，且时，．则________ 15．（2018·全国·高三竞赛）设．若，则n的取值集合为________． 16．（2014·吉林·高三竞赛）方程组的一组实数解为______. 三、解答题 17．（2023·全国·高三专题练习）已知，且能被整除，求的值． 18．（2023·全国·高三专题练习）设是多项式的四个根中的三个根，求所有这样的三个数 19．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个实系数非零多项式，且存在实数使得记，证明： 20．（2023·全国·高三专题练习）设多项式，证明：至少有一个根为虚根． 21．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明： （1）； （2）数列恒为常数． 22．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值. 23．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为整系数多项式，若，求，. 24．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y、z满足求证：x、y、z中至少一个为2020． 25．（2019·全国·高三竞赛）已知正的三个顶点在抛物线上.试求正中心的轨迹方程. 26．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数满足，，，……，求代数式的值. 27．（2021·全国·高三竞赛）记（在模p意义下，其中p为奇质数），为系数定义在F上的多项式且，n为未定元的个数．若，证明：除外还有一个零点，即存在，使得．（注：取值也均从F中取，本题中所有等于与取值均在模意义下进行） 28．（2018·全国·高三竞赛）求满足条件的实系数多项式： （1）对于任意的实数，有； （2）存在某一实数，使，，…，，，其中为的次数. 29．（2018·全国·高三竞赛）设实系数三次多项式有三个非零实根．证明：． 30．（2018·全国·高三竞赛）试求出所有实系数多项式，使得对满足的所有实数、、，都有. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题12 多项式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2020·北京·高三强基计划）设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式的个数为（    ） A．99 B．133 C．150 D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】根据的范围可得，从而可得多项式的个数. 【详解】函数单调递增，因此有唯一负有理根，注意到最高项系数为1， 因此的有理根为负整数，设为，则， 因此． 当时，有，其中，共99组； 当时，有，其中，共34组； 综上所述，符合题意的多项式的个数为． 故选：B. 2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用换元法将原方程转化为高次方程，再结合高次方程的韦达定理可求代数式的值