【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题10 复数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题10 复数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，满足的点的轨迹是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．一段圆弧 D．双曲线 2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 3．（2020·北京·高三校考强基计划）已知复数在复平面内对应的点为，O为坐标原点．若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2020·北京·高三强基计划）已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 二、多选题 5．（2020·北京·高三校考强基计划）设复数z满足，令，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 6．（2020·北京·高三校考强基计划）已知，则（    ） A．存在实数解 B．共有20个不同的复数解 C．的复数解的模长都等于1 D．存在模长大于1的复数解 7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（    ） A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值 8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设复数的实部和虚部都是整数，则（   ） A．的实部都能被2 整除 B．的实部都能被3 整除 C．的实部都能被4 整除 D．的实部都能被5 整除 三、填空题 9．（2018·辽宁·高三竞赛）设、b均为实数，复数与的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____. 10．（2019·全国·高三竞赛）已知虚数、满足，，.则实数______. 11．（2022·广西·高二统考竞赛）若复数满足，则的虚部为______． 12．（2019·全国·高三竞赛）复平面上动点的轨迹方程为______. 13．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数满足，则的最大值为__________． 14．（2019·全国·高三竞赛）设，其中， ．则____________． 15．（2019·全国·高三竞赛）设是复数,关于的一元二次方程的两个复数根为.若,则_____. 16．（2021·浙江·高二竞赛）设复数的实虚部，所形成的点在椭圆上.若为实数，则复数______. 17．（2022·福建·高二统考竞赛）已知复数､在复平面上对应的点分别为A､B，且，，O为坐标原点，则△OAB的周长为___________. 18．（2019·全国·高三竞赛）已知正实数满足，复数满足，若，那么，当的辐角主值最小时，的值为______． 19．（2019·全国·高三竞赛）复数列满足，.若，则可以有_________种取值. 20．（2021·浙江·高三竞赛）复数，满足，，则______. 21．（2021·全国·高三竞赛）设复数､､满足，则___________. 22．（2021·北京·高三强基计划）已知复数z满足，则满足条件的z有_________个． 23．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y满足，则__________． 四、解答题 24．（2018·全国·高三竞赛）已知求的值. 25．（2019·全国·高三竞赛）已知、、是互不相等的复数，满足，.求证：. 26．（2019·全国·高三竞赛）设．证明：为纯虚数． 27．（2021·全国·高三竞赛）设，复数.求所有的，使得､､依次成等比数列. 28．（2019·全国·高三竞赛）设，其中为质数．对的一个子集，如果中所有元素的和（空集的元素和规定为）为的倍数，则称是的一个“倍子集”．试求的所有倍子集的个数． 29．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得． 30．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明： （1）； （2）数列恒为常数． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题10 复数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，满足的点的轨迹是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．一段圆弧 D．双曲线 【答案】C 【详解】设、、，对应的点为.由， 可得. 由托勒密逆定理知，的轨迹为外接圆上不含点的那一段. 故答案为C 2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用换元法将原方程转化