【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用） 一、单选题 1．（2020·北京·高三强基计划）满足对任意有且严格递增的数列的个数为（    ） A．0 B．1 C．无穷多个 D．前三个答案都不对 2．（2020·北京·高三强基计划）已知数列满足，且对任意，有，其前n项和为，则的最大值等于（    ） A．28 B．35 C．47 D．前三个答案都不对 3．（2020·北京·高三强基计划）设x，y，z均不为，其中k为整数．已知成等差数列，则依然成等差数列的是（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 4．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（    ） A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对 5．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和，且实数p满足．则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·北京·高三强基计划）已知数列满足，数列满足，若正整数m满足，则m的最小值为（    ） A．23 B．24 C．25 D．以上答案都不对 7．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 二、多选题 8．（2020·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则（    ） A．存在数列A，使得 B．存在数列A，使得 C．存在数列A，使得 D．存在数列A，使得 9．（2020·北京·高三校考强基计划）设数列的前n项和为，若数列满足对任意，均存在，使得，则称数列为T数列．下列命题中正确的有（    ） A．若则为T数列 B．若（其中a为常数），则为T数列 C．若均为T数列，，则为等差数列 D．若为等差数列，则存在两个T数列，，使得 三、填空题 10．（2022·福建·高二统考竞赛）已知各项均为正数的等比数列中，，.数列满足：对任意正整数n，有，则___________. 11．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求． 12．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________. 13．（2022·北京·高三校考强基计划）已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________. 14．（2022·浙江·高二竞赛）设数列满足，，则的值为______.（结果用和表示） 15．（2022·浙江·高二竞赛）已知，，，，1，2，…，则满足的最小正整数n为______. 16．（2021·江苏·高三强基计划）是与最接近的整数，则_________． 17．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________． 18．（2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是___________. 19．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能的数列的个数为___________. 20．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，则最接近的整数为___________. 四、解答题 21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）． 22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数． 23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有． 24．（2022·江苏南京·高三强基计划）设的两个根分别为，，设. (1)求证：； (2)求的个位数字. 25．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）已知数列满足，，且，. (1)证明：； (2)证明：. 26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，. （1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围； （2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值. 27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：. 28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：. 29．（2021·浙江·高二竞赛）设为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值. 30．（2021·全国·高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件： （1）； （2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使． （3）有无穷多个正整数k，使． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题05 数列 真题专项训练 （全国竞赛+强基计划专用） 一、单选