专题11 导数与数列不等式综合-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题11导数与数列不等式综合 一、解答题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，数列的前n项和为，令，，求证：数列的前n项和满足 2．（2023·福建福州·统考二模）已知函数． (1)若，试判断的单调性，并证明你的结论； (2)若恒成立． ①求的取值范围： ②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：） 3．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)数列满足，证明：当时，. 4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，，． (1)若，求a的取值范围； (2)若，证明：存在函数和函数共有3个不同的零点，并且这3个零点成等差数列． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令 （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知a>0，函数f(x)＝aexcos x(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点． (1)证明：数列{f(xn)}是等比数列； (2)若对一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，求a的取值范围． 7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数和， (1)求在处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若与有相同的最小值． ①求出； ②证明：存在实数，使得和共有三个不同的根、、，且、、依次成等差数列． 8.（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）设函数，． (1)分别求与的最大值； (2)若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，证明：，，成等比数列． 9．（2022秋·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知函数和，它们的图像分别为曲线和. (1)求函数的单调区间； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列. 10．（2022·上海杨浦·统考一模）已知函数，其中为正整数，且为常数． (1)求函数的单调增区间； (2)若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围； (3)设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，， ，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由． 11．（2022·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小值； (2)设数列的通项公式为，证明：. 12．（2022秋·河南·高三河南省上蔡第一高级中学校联考阶段练习）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线. (1)求； (2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，求的个数. 13．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数 (1)求证：函数在上单调递增； (2)求证：数列的前n项和小于 14．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）设函数，． (1)若对任意，都有，求a的取值范围； (2)设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由． 15．（2022·全国·高三专题练习）关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. (1)证明：有唯一零点，且； (2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤： 在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点； …… 在处作曲线的切线，交轴于点； 可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值. （i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有. 16．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)若数列满足，，证明：，. 17．（2022·江苏盐城·阜宁县东沟中学校考模拟预测）设函数． (1)当时，恒成立，求k的最大值； (2)设数列的通项，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11导数与数列不等式综合 一、解答题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，数列的前n项和为，令，，求证：数列的前n项和满足 【答案】详见解析. 【分析】由题可求，猜想，用数学归纳法证明；用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩即可得证. 【详解】因为，，， 数列是首项为1，公比为的等比数列， 故， ，， ， ， ， 猜想：  ① 下面用数学归纳法证明： (i)当n＝1，2时，已证明①成立； (ii)假设当时，①成立，即. 从而 . 故①成立. 先证不等式  ② 令， 则. ，即②成立. 在②中令，得到 ③ 当时，； 当时，由①及③得： . 即. 【点睛】关键