专题17 导数中同构问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题17导数中同构问题 一、解答题 1．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数． (1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围； (2)讨论零点的个数； (3)证明，，有． 2.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，求a的取值范围． 3. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b； （2）证明：． 4.（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知函数 (1)若是的一个极值点，求的最小值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 5.（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知函数（，为自然对数的底数），. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对，恒成立，求实数的取值范围. 6.（2023·四川成都·统考二模）已知函数，其中，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 7.（2023·四川泸州·统考二模）已知函数． (1)若是的一个极值点，求的最小值； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 8.（2023·甘肃定西·统考一模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的最小值. 9.（2023·全国·模拟预测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 10.（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）已知函数． (1)当时，证明：． (2)若，求的单调区间． (3)若，求k的取值范围． 11.（2023·全国·高三专题练习）已知. (1)当时，求的单调性； (2)若恒大于0，求的取值范围. 12.（2022·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若，证明：. 13.（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)若，讨论的单调性 (2)若，求实数的取值范围. 14.（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若 （i）证明恰有两个零点； （ii）设为的极值点，为的零点且，证明：. 15.（2023·全国·模拟预测）已知函数. (1)若在上的最大值为，求实数的值. (2)若存在两个零点，. ①求实数的取值范围； ②证明：. 16.（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的实根，，求实数a的取值范围，并证明． 17.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)证明：. 18.（2023秋·河南安阳·高三校考期末）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数，证明：当时，函数有两个零点.注：函数与的图象有唯一公共点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17导数中同构问题 一、解答题 1．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数． (1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围； (2)讨论零点的个数； (3)证明，，有． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知满足不等式的整数只有两个，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）考查直线与函数图象相切时实数的值，数形结合可得出实数在不同取值下函数的零点个数； （3）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，由以及函数的单调性可证得所证不等式成立. 【详解】（1）解：令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，且当时，；当时，. 由可得，作出函数、的图象如下图所示： 因为有且只有两个整数，使得， 则满足不等式的整数只有两个，所以， 解得. （2）解：考查当直线与函数相切时，实数的值， 设切点坐标为，则切线斜率为， 所求切线方程为， 即， 所以，，解得或， 当时，；当时，. 如下图所示：当时，直线与函数的图象只有一个公共点； 当或时，直线与函数的图象有个公共点； 当或时，直线与函数的图象只有个公共点； 当时，直线与函数的图象无公共点. 综上所述，当时，函数无零点； 当或或时，函数只有个零点； 当或时，函数只有个零点. （3）证明：不妨设，构造函数，其中， 因为， ， 令，其中，则且不恒为零， 故函数在上为增函数， 因为，故， 所以，，故， 所以，函数在上为减函数， 故当时，， 因为，则， 因此，、且，有. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证