专题16 导数与隐零点问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题16导数与隐零点问题 一、解答题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间． (2)若， ①证明：函数存在唯一的极值点． ②若，且，证明：． 2．（2023·云南昭通·统考模拟预测）已知函数（，），. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围. 3．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知函数. (1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点； (2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围. 4．（2023·全国·高三专题练习）现定义：为函数在区间上的立方变化率.已知函数， (1)若存在区间，使得的值域为，且函数在区间上的立方变化率为大于0，求实数的取值范围； (2)若对任意区间的立方变化率均大于的立方变化率，求实数的取值范围. 5．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求证在上存在极值点，且. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)若，求函数在上的最小值； (2)若存在，使得. （i）求的取值范围；     （ii）判断在上的零点个数，并说明理由. 8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，. (1)讨论的零点个数； (2)若对，不等式恒成立，求a的取值范围. 9.（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数． (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围； (2)若，证明：． 10.（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 11.（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知函数（，为自然对数的底数），. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对，恒成立，求实数的取值范围. 12.（2023·山东济宁·统考一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数. 13.（2023·内蒙古包头·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)证明：当时，没有零点． 14.（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)若，是函数的极值点，证明：； (2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围． 15.（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值． 16.（2023·江西上饶·统考一模）已知，． (1)讨论的单调性； (2)若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：） 17.（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且. (1)求实数的取值范围； (2)设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值. 18.（2023·全国·高三专题练习）已知． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，证明：． 19.（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 20.（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）设，函数． (1)求证：存在唯一零点； (2)在（1）的结论下，若，求证：． 21.（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若为整数，且恒成立，求的最大值. 22.（2022·全国·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数在区间上的最大值； (2)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 23.（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数，. (1)若的最大值是1，求的值； (2)若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. 24.（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16导数与隐零点问题 一、解答题 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间． (2)若， ①证明：函数存在唯一的极值点． ②若，且，证明：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，无单调递减区间 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求导，判断导数的正负即可求解； （2）①二次求导后，结合零点的存在性定理找到隐零点，从而可解； ②根据题意可得，，两式相除， 借助