专题15 导数与新定义题型-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题15导数与新定义题型 一、解答题 1．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点，且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”． (1)，均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”； (2)，，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围． 2．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 3．（2022·湖南·模拟预测）设为的导函数，若是定义域为D的增函数，则称为D上的“凹函数”，已知函数为R上的凹函数． (1)求a的取值范围； (2)设函数，证明：当时，，当时，． (3)证明：． 4．（2022·河北石家庄·统考一模）已知函数，. (1)当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）. 5．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）定义：函数，的定义域的交集为，，若对任意的，都存在，使得，，成等比数列，，，成等差数列，那么我们称，为一对“函数”，已知函数，，． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，对任意的，，为一对“函数”，求证：．（为自然对数的底数） 6．（2021秋·山东青岛·高三山东省青岛第十七中学校考期中）如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 7．（2021·全国·高三专题练习）曲线的曲率定义如下：若是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率． （1）求的值，并证明：当时，； （2）若，且，求证：． 8．（2021秋·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值． 9．（2022·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为． 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； （2）比较（1）中与的大小． （3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：． 10．（2021·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考二模）已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由. （3）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值. 11．（2021·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知函数. （1）定义的导函数为，的导函数为，，以此类推，若，求函数的单调区间； （2）若，，证明：. 12．（2021·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P（t）函数”. （1）试判断与是否是一对“P（1）函数”，并说明理由； （2）若与是一对“P（t）函数”，求实数a和t的值. 13．（2020·湖南邵阳·统考三模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数拐点.已知. （1）求证：函数的拐点在直线上； （2）时，讨论的极值点的个数. 14．（2020·江苏苏州·统考模拟预测）定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数.已知，. （1）求函数的二阶导函数； （2）已知定义在上的函数满足：对任意，恒成立.为曲线上的任意一点.求证：除点外，曲线上每一点都在点处切线的上方； （3）试给出一个实数的值，