专题14 导数与切线公共点问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题14导数与切线公共点问题 一、解答题 1．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 2．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设函数，其中实数a，b，c满足． (1)若，，求函数在处的切线方程； (2)若，求函数的极值； (3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围． 3．（2023·河南开封·统考二模）已知函数图象上三个不同的点，，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若，探究线段的中点在第几象限？并说明理由． 4．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数． (1)求的最值； (2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围． 5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知函数，． (1)求函数的单调减区间； (2)已知曲线在点（，2，3）处的切线互相平行，且，求证：． 6．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围. 7．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，． (1)若，求的单调区间； (2)若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围． 8．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）已知函数，其中实数，，． (1)时，求函数的极值点； (2)时，在上恒成立，求b的取值范围； (3)证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条． 9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数和的图象共有三个不同的交点，并且它们的横坐标从左到右依次记为. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 10．（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）已知函数. (1)若函数在R上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若过点可作三条直线与曲线相切，求实数a的取值范围. 11．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：. 12．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知，函数 (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数?请说明理由． 13．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数极值点的个数； (2)存在直线与与曲线共有五个不同的交点，求的取值范围. （注：是自然对数的底数） 14．（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 15．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数(a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a＝1，证明：曲线y＝f(x)与直线y＝x＋1恰有两个公共点，且这两个公共点关于点(0，1)对称． 16.（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数的图象与直线有两个不同的交点、，证明：． 17.（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值. (1)求实数； (2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：. 18.（2023·山东日照·统考一模）已知函数，. (1)若直线是的切线，函数总存在，使得，求的取值范围； (2)设，若恰有三个不等实根，证明：. 19.（2023·山西大同·校联考模拟预测）椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且． (1)当时，讨论函数零点的个数； (2)已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：； (3)已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标． 参考公式： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14导数与切线公共点问题 一、解答题 1．（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，用导数法解即可； （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解. 【详解】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减