专题13 导数与比较大小问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题13导数与比较大小问题 一、解答题 1．（山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数k的取值范围； (3)当时，对任意的，且，试比较与的大小． 2．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知函数. (1)若函数的导函数为，讨论函数零点的个数; (2)当时，函数在定义域内的两个极值点为，试比较与的大小，并说明理由. 3．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)证明：函数存在两个极值点，且有； (2)试比较函数的极大值与极小值之和与3的大小，并说明理由. 4.（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，． (1)求证：存在唯一零点； (2)设，若存在，使得，试比较和的大小． 5.（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0． (1)求实数a的值； (2)设，，，判断，，的大小． 6.（2022秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数，()， (1)当时，令函数，求的单调区间； (2)在（1）的条件下，设函数有两个极值点为，，其中＜，试比较与的大小． 7.（2023·全国·高三专题练习）已知，函数有两个零点，记为，． (1)证明：． (2)对于，若存在，使得，试比较与的大小． 8．（2023春·全国·高三竞赛）已知函数．设为的导函数． (1)证明：有且仅有一个极值点； (2)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由． 9．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数. (1)当，时，求的单调区间； (2)若在区间内存在极值点. ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由. 10．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足． (1)若在上单调递减，求实数取值范围； (2)对任意正数，试比较与的大小． 11．（2022·上海嘉定·统考一模）已知， (1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）； (2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）； (3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值. 12．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知函数 (1)判断的单调性，并比较与的大小； (2)当时，不等式恒成立，求整数k的最大值． 13．（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知函数在处取到极值． (1)求的值以及函数的单调递减区间； (2)若，且，试比较与0的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 14.（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数，且有两个不同的零点，． (1)求的取值范围； (2)比较与的大小． 15.（2022秋·湖南·高三校联考阶段练习）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系，并证明． 16.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其导函数为． (1)证明：当时，函数有零点； (2)若对任意正数，且，总存在正数使得．试探究与的大小，并说明理由． 17.（2022秋·河北沧州·高三河间一中校考开学考试）设函数 (1)当时，求的单调区间； (2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明 18.（2022·福建龙岩·校联考模拟预测）已知函数. (1)若函数存在极值点，求实数a的取值范围； (2)当时，若，设，试比较A，B，C的大小，并说明理由. 19.（2023·全国·高三专题练习）已知函数， (1)若函数在处的切线也是函数图象的一条切线，求实数的值； (2)若，且，判断与的大小关系，并说明理由． 20.（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，. (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，且，试比较与的大小，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13导数与比较大小问题 一、解答题 1．（山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数k的取值范围； (3)当时，对任意的，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程； （2）由已知不等式恒成立且知，进而求得，再代入应用导数研究恒成立，根据充要关系确定参数值； （3）设，构造，利用导数研究单调性，进而确定其函数值符号，即可证结论. 【详解】（1）当时，，所以，， 所以在点处的切线方程为． （2）对都有且，而，则， 所以