专题12 导数与不等式取值范围问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题12导数与不等式取值范围问题 一、解答题 1．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数． (1)求的单调区间； (2)若，为整数，且当时，，求的最大值． 2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，． (1)当时，证明在是增函数； (2)若，，求的取值范围． 3．（2023·全国·高三专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 4．（2023春·江苏泰州·高三靖江高级中学校考阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间： (2)若有两个零点，求a的取值范围； (3)当时，，求a的取值范围． 5．（2023·甘肃·统考一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若时，恒有，求的取值范围. 6．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，. (1)当时，求证：在上单调递减； (2)当时，，求的取值范围. 7.（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数． (1)若在区间上单调递减，求实数t的取值范围； (2)若当时，，求实数t的取值范围． 8.（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求a的取值范围. 9.（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数，其中，设为的导函数． (1)若，求的最小值： (2)若时，恒成立，求的取值范围． 10.（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若时，，求的取值范围. 11.（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知函数，． (1)求的极值； (2)令，若，求a的取值范围． 12.（2022秋·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）已知函数，，． (1)讨论函数零点个数； (2)若，求的范围． 13.（2023·浙江·统考一模）设函数,． (1)当时,证明:; (2)若,求a的取值范围． 14.（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知函数 (1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 15.（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)当时，若曲线在处的切线方程为，证明：； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12导数与不等式取值范围问题 一、解答题 1．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数． (1)求的单调区间； (2)若，为整数，且当时，，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2)2 【分析】（1）讨论、，利用导数研究的单调区间； （2）由题设在上恒成立，利用导数研究单调性并求得其最小值能成立，再令，若并应用导数求能成立t的范围，进而求k的范围，即可得结果. 【详解】（1）由题设， 当时，，则在R上单调递增； 当时，有，则在上递增； 有，则在上递减； 综上，，在R上单调递增；，在上递减，在上递增. （2）由题设，则， 所以在上恒成立， 令，则， 当时，，递增；当时，，递减； 所以，只需， 令，若，则， 当时，，递增；当时，，递减；且， 又，，，，则， 所以整数，故其最大值为2. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为在上恒成立，并求出其最小值，再由其最小值能成立求参数范围即可. 2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，． (1)当时，证明在是增函数； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）利用导数证明，即可求导，得，由此可证明， （2）根据和的两种情况，分类讨论求解的最值，即可求解. 【详解】（1）令则,当时，，单调递增，当时，，单调递减，则， 当时，， 由于当时，，所以，所以在是增函数， （2）， 由于，当且仅当等号成立，故， 当时，，故对任意的，，于是单调递增，故，符合题意， 由得，当时，，故当时，，故此时单调递减，故不符合要求，故舍去， 综上可知： 3．（2023·全国·高三专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 4．（2023春·江苏泰州·高三靖江高级中学校考