专题02 不等式的性质及基本不等式【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用） 专题02 相等关系与不等关系（重要考点） 目录一览 一、典例分析 二、考点梳理 三、专项突破训练 （1）不等式的性质（2）基本不等式 四、答案速览 一、典例分析 【典例1】 已知a，b，c均为非零实数，且，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 已知正实数、满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【典例3】下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值是 B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3 C．若，，，则的最小值是2 D．若实数x，y满足，则的最小值是 【典例详解】 【典例1】【分析】根据不等式的基本性质及特殊值即可求解. 【详解】对于A，取特殊值，满足，但，故A不正确（特殊值法） 对于C，取特殊值，满足非零实数，此时，但，故C不正确（特殊值法） 对于B，因为a，b，c均为非零实数，且，所以，所以，故B正确； 对于D，因为a，b，c均为非零实数，且，所以， 所以，所以，即，故D正确.故选：BD. 解题小策略之排除法：在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。该题AC错误，故BD必然正确！特别是从近年的高考试题中发现一个规律：四道多选题至少两道是只有两个选项对的。 【典例2】【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项. 【详解】因为正实数、满足，则， 因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错； 因为，所以，， 令，因为函数在上单调递减， 所以，，C对D错.故选：AC. 可用对立法：在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他两项不存在内容对立的情况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为正确选项。 【典例3】【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确（拼凑法） 对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以， 所以，，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确（“1”的应用） 对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误； 对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D错误．故选：AB.（换元的思想） 二、考点梳理 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3.几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）.变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： , 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. 4.相关不等式常用结论 ①平均不等式： ,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 三、专项突破训练 题型一：不等式的性质 1．（湖南省张家界市2023届高三下学期3月高考模拟数学试题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟数学试题（一））已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（三））已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D． 4．（广东省汕头市2022届高三二模数学试题）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 5．（广东省深圳市深圳中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．函数的最小值是2 6．（辽宁省教研联盟2023届高三第一次调研测试（一模）数学试题）若，，，则