专题18 概率之超几何分布、二项分布、正态分布（典型例题+跟踪训练）-【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题18 概率之超几何分布、二项分布、正态分布 目录一览 一、典型例题讲解 二、梳理必备知识 三、基础知识过关 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 （1）超几何分布 （2）二项分布 （3）正态分布 六、高考真题衔接 一、典型例题讲解 【典例1】一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个 （1）若每次随机取出一个球，规定：如果取出黄球，则放回袋子里，重新取球；如果取出白球，则停止取球，求在第3次取球之后停止的概率； （2）若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率； （3）若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和均值． 【典例2】在一次联考中某两校共有3000名学生参加，成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求在本次考试中成绩处于内的学生人数. （2）以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况，现从全省考生中随机选取3人，记成绩在110分（包含110）以上的考生人数为，求的分布列和数学期望. 【典例3】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人． （1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？ （2）若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 附正态分布3σ概率表： P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3 【典例详解】 【典例1】【分析】（1）先根据题意，理解第三次取球之后停止的意义是指前两次都是取到黄球，且有放回取球，第三次取到白球，利用独立事件概率公式计算即可； （2）利用独立重复试验的概率公式计算； （3）利用超几何分布公式计算分步列，并根据定义计算期望值(均值). 【详解】解：（1）每次随机取出一个球，设摸出一个黄球为事件A，摸出一个白球为事件B. ，， 设在第次取球之后停止为事件C，则； （2）设恰好摸到2个白球为事件D，则； （3）=0，1，2，3（写出随机变量的可能取值，可以酌情给分）依题意服从超几何分布 （不写出此形式不扣分） ，，，. X 0 1 2 3 P 均值为. 【典例2】【分析】（1）读图可得处于的频率为，结合总人数可得解； （2）由题意，可知，列出分布列，计算数学期望即得解. 【详解】（1）的频率为 的人数为人 （2）由频率分布直方图可知，110及以上的考生概率为（二项分布必然要找出“成功”的概率p和实验次数n） 因此全省考生中随机选取3人，成绩在110及以上的考生人数 0 1 2 3 由于， 【典例3】【分析】（1）利用正态分布的性质得到成绩在90分以上(含90分)的概率，进而求得总人数； （2）利用正态分布的性质得到成绩在80分以上(含80分)的概率，进而结合（1）中所得总人数求得. 【详解】（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100) 所以μ＝70，σ＝10.（确定μ和σ是第一要素，确定之后写出“3σ原则”对应的范围及其概率） 则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)] ＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5) ＝0.022 75，12÷0.022 75≈527(人)． 因此，此次参赛学生的总数约为527人． （2）由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)] ＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65， 527×0.158 65≈84(人)． 因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人． 解题技巧：区别超几何分布和二项分布的关键信息一般有两个：（1）n个正品中的n是否能够确定具体数值（一般不会很大）（2）题目中是否出现“将频率视为概率”这句话，有的话一般是二项分布；正态分布题型确定μ和σ是第一要素，确定之后写出“3σ原则”对应的范围及其概率，一般与二项分布及其应用结合考查！ 二、梳理必备知识 1.二项分布 （1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立