专题04 导数与含有和型不等式证明问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题04导数与含有和型不等式证明问题 一、解答题 1．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数，当时，． (1)求的取值范围； (2)求证：（）． 2．（2023·云南红河·统考二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 3．（2023·河南新乡·统考二模）已知，函数． (1)讨论的单调性； (2)设表示不超过x的最大整数，证明：，． 4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知函数，． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围； (3)设时，证明：． 5．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)求证：（，是自然对数的底数）． 6．（2023·广西南宁·统考一模）， (1)讨论的单调性； (2)当时，证明； (3)证明对于任意正整数，都有. 7.（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明：． 8．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知为自然对数的底数，证明：对.参考公式： 9．（2023春·山东菏泽·高三统考阶段练习）已知函数． (1)当a=0时，求函数的最小值； (2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，． 10．（2023春·浙江嘉兴·高三平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数． (1)求的最小值； (2)已知，证明：； 11.（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）已知函数. (1)当时，讨论的单调性. (2)证明：①当时，； ②，. 12．（2023·浙江·校联考三模）已知 (1)当时，求单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 13．（2023春·湖北·高二武汉市第十一中学校联考阶段练习）已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值集合； (2)求证：对，都有． 14．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 15．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：． 16．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数且，正整数n不小于2，那么．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题． (1)证明：当时，对任意恒成立； (2)证明：对任意，恒成立． 17．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知． (1)若关于x的方程有解，求实数a的最小值； (2)证明不等式； (3)类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：（，e为自然对数的底数） 18．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知函数． (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)在（1）的条件下证明:对任意，都有； (3)设，讨论函数的零点个数． 19．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）已知函数（e为自然对数的底数）. (1)求f(x)的最大值； (2)设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值； (3)证明. 20.（2022秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知函数. (1)若，求实数的取值范围. (2)求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04导数与含有和型不等式证明问题 一、解答题 1．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）已知函数，当时，． (1)求的取值范围； (2)求证：（）． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可； （2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证. 【详解】（1）由题意得． 令，则． ∴函数在区间上单调递增， 则函数的最小值为． ①当，即时，可得， ∴函数在上单调递增． 又，∴恒成立． ②当，即时，函数的最小值为<0， 且存在，当时，． 又，∴当时，，这与时，相矛盾．    综上，实数a的取值范围是． （2）由（1） 得当时，不等式恒成立， ∴． 令，得．   ∴．   令，则， 时，，为上的增函数； 时，，为上的减函数； ∴，则． ∴，    ∴ = <= ∴． 【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的. 2．（2023·云南红河·统考二模）已知