专题03 导数与零点问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题03导数与零点问题 一、解答题 1．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的最值； (2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围. 2．（2021·陕西渭南·统考三模）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)设，试判断在上的零点个数，并说明理由． 3．（2023春·河南·高三襄城高中校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围，并证明. 4．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）已知函数，． (1)比较，的大小，并说明理由； (2)已知函数的两个零点为，，证明：． 5．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知函数． (1)若是函数的极大值点，求实数a的取值范围； (2)已知，证明：方程有且仅有1个正实根，且该正实根位于区间内． 6．（2023春·天津武清·高三天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数的减区间是，求a的值； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 7．（江西省九江市2023届高三高考二模数学（文）试题）已知函数，． (1)当时，证明：； (2)当时，判断零点的个数并说明理由． 8．（2023·江西九江·统考二模）已知函数，． (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数． 9．（2023·内蒙古包头·统考一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)若没有零点，求a的取值范围． 10．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知函数 (1)若是的一个极值点，求的最小值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 11．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有解，求a的取值范围． 12．（北京市朝阳区2023届高三一模数学试题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 13．（2023·湖南张家界·统考二模）已知函数,. (1),求的最值; (2)若函数恰有两个不同的零点,求的取值范围. 14．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程． ②试问有极大值还是极小值？并求出该极值． (2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围． 15．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为. (1)求、的值； (2)试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由. 16．（2023·河南洛阳·校联考三模）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围． 17．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程; (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 18．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求证：函数在区间内有唯一零点. 19．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)若函数有三个零点 ，求实数的取值范围，并求的值． 20．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围． 21．（2023·四川成都·统考二模）已知函数，其中，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 22．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数，，.. (1)若曲线在点处的切线方程是，求和的值； (2)若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03导数与零点问题 一、解答题 1．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的最值； (2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可. （2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可. 【详解】（1）由题得，， 当时，，在上单调递减，故无最值 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得唯一的极小值，即为最小值， 即， 综上所述，当时，无最值 当时，的最小值为，无最大值. （2）， 函数