专题02 导数与不等式证明双变量问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题02导数与不等式证明双变量问题 一、解答题 1．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数． (1)若，求方程的解； (2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明． 2．（2023·山西太原·统考一模）已知函数. (1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，证明： ①； ②. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，设，其中，证明：存在唯一的，使得． 4．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若是的两个不相等的零点，证明：. 5．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）已知函数， 其中为实数，为自然对数底数，． (1)已知函数，，求实数取值的集合； (2)已知函数有两个不同极值点、． ①求实数的取值范围； ②证明：． 6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得，证明：． 7．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数. (1)求的最小值. (2)若，且.证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 8．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，设，，且证明： 9．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值与最小值； (2)若函数的两个极值点分别为，，证明：． 10．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)若，是的两个极值点，从下面两个结论中任选一个进行证明． ①； ②． 11．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和最大值； (2)设函数有两个零点，证明：． 12．（2023·河南开封·统考二模）已知函数图象上三个不同的点． (1)求函数在点P处的切线方程； (2)记（1）中的切线为l，若，证明：． 13.（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，，证明：． 14.（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，，且满足，求证：. 15.（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）已知函数． (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围． 16.（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：． 17.（2021春·四川成都·高二校考期中）已知函数． (1)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)设，点为曲线上的两个不同点，若，且存在，使得曲线在点处的切线与直线平行，试证明. 18.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)当，，有两个不同的实数根，证明：． 19.（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在不同的正实数使得，证明：． 20.（2023·云南昆明·统考一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02导数与不等式证明双变量问题 一、解答题 1．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数． (1)若，求方程的解； (2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明． 【答案】(1)解为 (2)，证明见解析 【分析】（1）用导数研究的单调性与极值，只有在极值点处满足； （2）由及分别有两个零点，分离参数，数形结合得到的取值范围，由消去代入得，结合进一步转化为证明，结合的范围，考察的最值得证. 【详解】（1），定义域为， 令，设， 故在上单调递减，在上单调递增，， 故方程的解为. （2）令，得，设， 故在单调递增，在单调递减，， 当时，当时， 若有两个零点，则，故， ，令，得， 设，则， 故在单调递增，在单调递减，， 当时，当时， 若有两个极值点，则， 综上，. 不妨令，因为且，由与图象得， 由为的两根得， 两式分别乘并整理得， 所以， 要证，即证， 即证：， 由于，所以 ， 只需证，即证，（）， 令，（）， 当时，所以在上单调递减， 所以，故，得证. 【点睛】关键点点睛：由为的两根得……①， ……②，对含参双零点常用处理方法： ①+②得……③，用此式可代入消参， ①－②得……④，也用此式可代入消参， 由③④得，可直接消参. 本题中以上方法均不适合，结合要证的结论要想消参需要在①