专题01 导数与不等式证明单变量问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题01导数与不等式证明单变量问题 一、解答题 1．（2021春·陕西商洛·校考期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，证明：不等式在上恒成立． 2．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧．若函数在点处的切线为，求证：当时，． 3．（2021·陕西西安·统考二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由. 4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数． (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围； (2)若，证明：． 5．（2023·河南新乡·统考二模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：． 6．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，曲线与在点处有相同的切线. (1)求､的值； (2)证明：. 7．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数，曲线在和处的切线互相垂直． (1)求实数的值； (2)令函数，证明：． 8．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知． (1)若在上单调递增，求a的取值范围， (2)证明：当时，． 9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数． (1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，求证：． 10．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知函数． (1)求的最小值； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围． 11．（2023春·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数 (1)当时，求证恒成立： (2)讨论的单调性： (3)当时，求证：恒成立． 12．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知函数（为自然对数的底数）． (1)若的最小值为1，求在上的最小值； (2)若，证明：当时，． 13．（2023春·河南·高三校联考期末）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明． 14．（2023·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若，求的极值； (2)证明：当时，. 15．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数． (1)若，讨论零点的个数； (2)求证：． 16．（2023春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考阶段练习）已知函数． (1)若方程恰有个实数解，求实数的取值范围； (2)证明：． 17．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 18．（2023春·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01导数与不等式证明单变量问题 一、解答题 1．（2021春·陕西商洛·校考期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，证明：不等式在上恒成立． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案. （2）求导得到，设，再求导得到单调递增，，在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）当时，，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故当时，取得最小值为． （2），且，， 设，，，， 故在上恒成立，故单调递增，， 故在上单调递增，恒成立． 2．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧．若函数在点处的切线为，求证：当时，． 【答案】(1)递减区间是，递增区间是； (2)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间作答. （2）求出点Q的坐标及切线，再构造函数，利用导数探讨最小值作答. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 显然在上单调递增，而，则当时，当时，， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （2），，解得或，则， ，， 函数的图象在点处的切线，于是， 当时，令，求导得， 当时，，则，即， 显然，即，，因此，函数在上单调递减， 当时，，则，即， 显然，即，，因此，函数在上单调递增， 于是当时，， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 3．（2021·陕西西安·统考二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)函数在定义域内不是单调函数，理由见解析 【分析】（1）首先不等式变形为，再构造函数，利用导数判断函数的最小值，即可证明不等式； （2）首先求函数的导数，并设，利用导数判断判断函