专题10 导数与三角函数结合问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题10导数与三角函数结合问题 一、解答题 1．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数． (1)求证：函数在上单调递增； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）已知，且0为的一个极值点． (1)求实数的值； (2)证明：①函数在区间上存在唯一零点； ②，其中且． 3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知. (1)证明：当时，在上单调递增； (2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 4．（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若，求的取值范围； (3)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由． 5．（2023·四川南充·统考二模）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，设，求函数的极值； (2)若函数在有零点，求证：. 6．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，函数的零点从小到大依次排列，记为 证明：（i）； （ii）. 7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中． (1)讨论函数在上的单调性； (2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点． 8．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数 (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，判断关于的方程在内解的个数，并说明理由． 9．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数． (1)求证：函数在上单调递增； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，，求实数m的取值范围． 11.（2023·北京石景山·统考一模）已知函数. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. (2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 12．（2023春·浙江温州·高一校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：． 13．（2023·四川凉山·二模）已知函数． (1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个不同的极值点，证明：． 14．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数． (1)证明：函数只有一个零点； (2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围． 15．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)对任意的，都有，求a的取值范围． 16．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数． (1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0； (2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立． 17．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，设，证明：对任意的； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. （参考数据：） 18．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对恒成立，求. 19．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围． 20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若，判断的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围. 21．（2022秋·安徽阜阳·高三校联考期中）已知函数，． (1)若在上的值域为，求在上的单调区间； (2)若函数，则当时，求的零点个数． 22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数，． (1)对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：． 23．（2023·湖南·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，； (3)若，，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10导数与三角函数结合问题 一、解答题 1．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数． (1)求证：函数在上单调递增； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由导数结合正弦函数的性质得出单调性； （2）分离参数得出，利用导数得出的最值，进而得出实数k的取值范围． 【详解】（1）证明：∵ 当时， ∴成立，所以函数在上单调递增． （2） 当时，不等式显然成立 当时，，所以 令， 令， 在上成立， ∴在上为单调递增函数， ∴ 即在上成立， 在上单调递减，∴ ∴． 【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于