专题09 利用导数研究函数的极值最值问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题09 利用导数研究函数的极值最值问题 一、解答题 1．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数，为函数的导函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求函数的零点个数； (3)若函数在区间上有最小值，其中a为正整数，求a的最小值. 2．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：有且只有一个零点； (3)求函数在上的最小值. 3．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知函数的最小值为0，其中. (1)求的值； (2)设函数，证明：有两个极值点. 4．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且. (1)求实数的取值范围； (2)设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若为函数的极小值点，求实数a的值． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若为函数的极小值点，求实数a的值． 7．（2023·北京石景山·统考一模）已知函数. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. (2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 8．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值． 9．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线与x轴平行，求a的值； (2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若在区间上恒成立，求a的取值范围． 10．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若存在极值点，求实数的取值范围. 11.（2023·重庆·统考二模）已知函数，且． (1)求的极值点； (2)设，若，分别是的零点和极值点，证明：． 12.（2023·江西赣州·统考一模）已知函数（，e为自然对数的底数）. (1)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (2)函数，，记的极小值为，求函数的值域. 13.（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）已知函数（e为自然对数的底数）. (1)若在点处的切线方程为，求a的值； (2)若的最小值为1，求在上的最小值； (3)若，证明：当时，. 14.（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 15.（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数，．当时，在上的最大值为． (1)求实数a的值； (2)，有．当时，求的最大值． 16.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数. (1)证明：恰有一个零点； (2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围. 17.（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若有两个极值点，求的取值范围. 18.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，是的导函数. (1)若，求证：当时，恒成立； (2)若存在极小值，求的取值范围. 19.（2021秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数. (1)若函数有大于零的极小值，求实数的取值范围; (2)若函数有两个极值点，（），证明:. 20.（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09利用导数研究函数的极值最值问题 一、解答题 1．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数，为函数的导函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求函数的零点个数； (3)若函数在区间上有最小值，其中a为正整数，求a的最小值. 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解； (2)利用导数求出函数的单调性，根据单调性和零点存在性定理即可求解； (3)结合（2）的结论，要使函数在区间上有最小值，则必须有，解之即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 又因为， 所以，所以的图象在处的切线方程为：， 即. （2）由题意可知：，令， 即，令，则， 因为在上单调性递减，且， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 又，，，， 由零点存在性定理可知：函数在和上各有一个零点， 也即函数在和上各有一个零点， 故函数有两个零点. （3）由（2）可知：使得，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，当时，且极小值