专题08 利用导数研究函数的单调性问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题08利用导数研究函数的单调性问题 一、解答题 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)若，是函数的极值点，证明：； (2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若，求c的取值范围； (2)设时，讨论函数的单调性． 3．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数． (1)若的最小值为0，求a； (2)设函数，若是增函数，求a的取值范围． 4．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数. (1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围； (2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”. 已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围. 5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝. (1)函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论； (2)若当x>0时，f(x)>恒成立，求正整数k的最大值． 6．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数（）． (1)若在上是增函数，求的取值范围； (2)若，求证：． 7．（2021秋·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）设函数，，其中为实数. (1)若在处的切线方程为，求实数的值； (2)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论. 8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，求证：在上是增函数； （3）求证：当时，对任意，． 9．（2022·全国·高三专题练习）已知，． （1）若为增函数，求的取值范围； （2）当时，判断的零点的个数，并证明你的结论． 10.（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）若函数在上为单调增函数，求的取值范围； （2）设，且，求证. 11．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数（）. （1）当时，证明函数在上是增函数； （2）若时，当时，恒成立，求实数a的取值范围. 12．（2007·辽宁·高考真题）已知函数，． (1)证明：当时，在上是增函数； (2)对于给定的闭区间，试说明存在实数k，当时，在闭区间上是减函数； (3)证明：． 13．（2022秋·上海普陀·高三统考期中）已知函数． (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值； (2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围； (3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知函数，若在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)求在上的单调区间和最值； (3)若存在实数，使函数在上为单调减函数，求实数n的取值范围． 15．（2022·辽宁丹东·统考一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在是单调递减函数，求实数的取值范围. 16．（2022秋·吉林·高三双辽市第一中学校联考期末）（1）已知函数（），求证：； （2）若函数在上为减函数，求实数的取值范围. 17．（2020秋·江苏泰州·高三江苏省姜堰第二中学校考阶段练习）已知函数． （1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围； （2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由； （3）当时，证明. 18．（2019·全国·高三专题练习）设函数f(x)＝x2＋ax－lnx. (1)若a＝1，试求函数f(x)的单调区间； (2)令，若函数g(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08利用导数研究函数的单调性问题 一、解答题 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)若，是函数的极值点，证明：； (2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到，设函数，进而得到，结合，即可得到函数的单调性，进而求证； （2）与（1）同理可先得到函数的单调性，进而得到函数的单调性，进而得到对任意恒成立，即恒成立，再结合最值进行求解. 【详解】（1）证明：由题意，， 则， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点， 所以，命题得证. （2）由， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 则当时，；当时，. 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由，则， 所以对任意恒成立，即恒成立， 所以，将带入上式， 整理得， 因为，所以， 所以，所以， 即的取值范围为