专题07 恒成立存在性问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题07恒成立存在性问题 一、解答题 1．（2023春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数） (1)求在处的切线方程. (2)存在成立，求a的取值范围. (3)对任意的，存在，有，则的取值范围. 2．（2023·山东聊城·统考一模）已知函数，． (1)若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围． 3．（2022春·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 4．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 5．（2021秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知，，，其中e是自然对数的底数，． (1)讨论当a=1时，函数的单调性和极值； (2)求证：在（1）的条件下； (3)是否存在正实数a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知，函数，． (1)若，求证：在上是增函数； (2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值． 7．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)当时，若对，恒成立，求的最小值． 9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知函数，，其中． (1)若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围； (2)若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围． 10．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知函数（，为自然对数的底数），. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对，恒成立，求实数的取值范围. 11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)对恒成立，求实数的取值范围． 12．（2023春·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围; (2)若函数 有两个极值点为，且， 若恒成立，求实数的取值范围. 13．（2023·天津·统考一模）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值； (3)设函数，.当时，，，不等式恒成立，求的取值范围. 14.（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，e是自然对数的底数，为实数． (1)若函数的图象在处的切线方程过点，求实数a的值． (2)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围． 15.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若，，求a的取值范围. 16.（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 17.（2023·甘肃定西·统考一模）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的最小值. 18.（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）已知函数 (1)当时，证明： (2)若恒成立，求实数的取值范围． 19.（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若存在，使得，求实数的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07恒成立存在性问题 一、解答题 1．（2023春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数） (1)求在处的切线方程. (2)存在成立，求a的取值范围. (3)对任意的，存在，有，则的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据题意可得原题意等价于存在成立，结合存在性问题分析运算； （3）根据题意可得：，对于：利用导数求其最大值，对于：分类讨论求其最大值，分析运算即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 则， 即切点坐标，切线斜率， 故在处的切线方程为，即. （2）∵，则， ∴原题意等价于存在成立， 又∵，则， ∴， 故a的取值范围为. （3）因为对任意的，存在，有，所以， 因为，所以， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因为开口向下，对称轴为，则有： ①当，即时，在上单调递减，则， 所以，则， 故； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，故