专题06 含有绝对值型问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题06含有绝对值型问题 一、解答题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明： (1)当时，； (2)当时，． 2．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧． （ⅰ）若函数在点处的切线为，求证：当时，； （ⅱ）若方程有两根，．求证：． 3．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数，． (1)，，求的最小值； (2)设 ①证明：； ②若方程有两个不同的实数解，证明：． 4．（2023秋·浙江杭州·高三杭州高级中学校考期末）已知函数，． (1)若关于x的方程在区间上有且仅有一个解，求实数t的取值范围； (2)对任意的，，，求证：． 5．（2023春·天津滨海新·高三汉沽一中校考阶段练习）已知函数 . (1)时，求函数的单调性； (2)时，讨论函数的单调性； (3)若对任意的，当，时恒有成立，求实数的取值范围. 6．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若存在两个非负零点，求证：． 7.（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数． (1)试讨论的单调性； (2)求使得在上恒成立的整数a的最小值； (3)若对任意，当，时，均有成立，求实数m的取值范围． 8.（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数过点的切线方程； (2)若，求证：函数只有一个零点，且； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值． 9.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，证明： 10.（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）已知函数，设曲线在点处的切线方程为. (1)证明：对定义域内任意，都有； (2)当时，关于的方程有两个不等的实数根，，证明：. 11.（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数，． (1)若不等式恒成立，求 的取值范围； (2)若时，存在4个不同实数，，，，满足，证明：． 12.（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)已知，求证：. 13.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）已知函数. (1)若在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 14.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 15.（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知函数，，. (1)讨论函数在区间上的最大值； (2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有. 16.（2022·上海宝山·统考一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06含有绝对值型问题 一、解答题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明： (1)当时，； (2)当时，． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证法一：利用拉格朗日中值定理即可证明； 证法二：根据函数解析式，求得 ，，结合不等式知识证明即可. （2）证法一：利用拉格朗日中值定理即可证明； 证法二：由题意可得，即证明对任意的两个不相等的正数，恒成立．只需证成立．结合基本不等式即可证明结论； 证法三：根据导函数表达式可得，即只需证即可，即证明对任意两个不相等的正数，即证成立，继而采用换元法，构造函数，转化为函数的最值问题解决. 【详解】（1）证法一（拉格朗日中值定理）： 不妨设，即证, 由拉格朗日中值定理知，存在， 则且 ， , 又，． 当时,．∴是一个单调递增函数， 故，从而成立， 因此命题获证． 证法二：由，为任意两个不相等的正数，得： ， ，而①， 又，∴②， ∵，∴，∵，③， 由①、②、③，得：， 即． （2）证法一（拉格朗日中值定理）：由得，， 令，则由拉格朗日中值定理得：， 下面只要证明：当时，任意，都有，则有， 即证时，恒成立．这等价于证明的最小值大于． 由于，当且仅当时取到最小值， 又，故时，恒成立． ∴由拉格朗日定理得：, 即. 证法二：由得， ∴ , 故即． 下面证明对任意的两个不相等的正数，恒成立． 这只需证成立． ∵， ∴成立， 因此，当时，． 证法三：由，得． 则 ， 要证，只需证即可， 下面证明