专题05 导数与极值点偏移问题-【题型专项突破系列之函数与导数】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题05导数与极值点偏移问题 一、解答题 1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)若有两个零点，，求证：. 2.（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与曲线相切于点．证明： (1)l与曲线恰存在两个公共点 ； (2) ． 4．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知函数 (1)讨论函数的零点的个数； (2)若函数有两个零点，证明： 5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值; (2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值. 6.（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 7．（2023·陕西安康·统考二模）已知函数，（e为自然对数的底数） (1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值； (2)若，方程有两个根，（），求证：． 8．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数 (1)若时，求的最值； (2)若函数，且为的两个极值点，证明： 9．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数． (1)证明：若，则； (2)证明：若有两个零点，，则． 10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 11．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，证明：. 12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数，且 (1)求实数的值 (2)若关于的方程有个不同的实数根，，求证：． 13．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数. (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数. 14．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，是的两个不同零点，证明：. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时，都有，求实数的取值范围； (3)若有不相等的两个正实数满足，求证：. 16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若有唯一零点，设满足条件的值为与 证明：①与 互为相反数；②； (2)设.若存在两个不同的极值点、，证明. 参考数据：， 17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）. (1)若函数的最小值为2，求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：. 18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为． ①求实数的取值范围； ②证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05导数与极值点偏移问题 一、解答题 1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)若有两个零点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数可求出的最小值为，讨论最小值与0的大小结合零点存在性定理可解决问题； （2）由（1）可得，在区间上单调递增，则与2的大小关系，等价于与的大小关系，即与的大小关系，又注意到，故利用导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）. 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 当，即时，的零点个数为0. 当，即时，的零点个数为1. 当，即时， 注意到，. 下面证明. 设，所以， 由解得；由解得. 则在单调递增，单调递减， 所以，即. 所以，所以. 因此，，，使得，所以此时的零点个数为2. 综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2. （2）证明：（证法一）由（1）可知，当时，函数有两个零点，且. 令，，则. 当时，，所以在区间上单调递增， 所以. 所以.因为，所以. 又由（1）可知，在区间上单调递增，所以，故. （证法二）由，得 则. 由对数平均不等式，得， 所以， 所以.又，所以. 【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大. （1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在于取点； （2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量. 2.（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)当