第一章 勾股定理 单元小结与复习-【数学一号】2022-2023学年八年级上册初二数学全能讲练一体化（北师大版）教用版

第一章勾股定理 第一章单元小结与复习 【点拔】利用勾股定理求直角三角形的边长，一般部要 思维号导图 经过“一分二代三化简”这三步，即一分：分清哪条边 内容：一个直角三角形的两 是斜边，哪条边是直角边：二代：将已知边长代入口 条直角边分别为a,b,斜边为 =(假设c是斜边，b是两条丘角边)：三化简， c,则有a+b= 勾 定理句股定理的证明 举一反三 如果三角形的三边长a,b,c, 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC= 满足a+b=,那么这个三角 勾股 形是直角三角形 6,CD⊥AB于点D,则CD的长为 勾股」 定理 定理 的逆 勾股数 定理 勾股 最短路径问题； 定理 A- 的应 勾股定理的综合运用 用 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B= 要点讲练 90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D 重合，折痕为MN,则BN的长为4 要点一 勾股定理 要点二勾股定理的逆定理 例0在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, 例②如图，在△ABC ∠C的对边分别是a,b,c. 中，点D是BC边的中 (1)已知a=12,b=5,求c的值： (1)已知a=40,c=41,求b的值： 点，DE⊥BC交AB于点 E,且BE2-EA2=AC. (2)已知a:b=3：4,c=15,求a的值. (1)试说明：∠A=90°： 【思路导航】直角三角形中两直角边的平方和 (2)若AC=6,BD=5,求EA的长 等于第三边的平方，知道其中任意两边即可 【思路导航】(1)连接CE,由线段垂直平分线 求出第三边， 的性质得出BE=CE,再判断EA+AC2 解：(1)周为∠C=90,a=12,6=5, CE2是否成立，最后得出∠A=90°：(2)先求 所以1=42+6=122+52=13， 所以c=13. 出BC,在Rt△ABC中，利用勾股定理求出 (2)因为∠C=90°，a=40,e=41, AB的长，再在R1△AEC中，利用勾股定理 所以-a-412-40=9 结合已知条件可得到关于EA的方程，解方 所以b=9. 程即可求得EA的长， (3)因为ab=3:4, 解：(1)如答图，连接CE 所以设a=3k,b=4k(k>0. 因为D是BC的中，点，DE BC 所以2=aP+=25k3. 所以CE-BE 所以c=5 因为BE-EA=AC”, 答图 因为=15，所以k=3.所以4=9. 所以CE-EA=AC, 417 所以EA^2+AC^2-CE^2AB上修建一个火车站E.C城到铁路AB的 所以△ACE是直角三角形，∠A-90°距离AC=20km，D城到铁路AB的距离 （2)因为D是BC的中点，BD=5，DB=60km，AB=100km，经市政府与铁路部 所以BC=2BD=10．门协商，最后确定在与C，D两城距离相等的 因为∠A-90°。AC-6，E处修建火车站。求AE，BE的长。 所以AB′=BC∘-AC′=64.所以AB-8， 在Rt△AEC中，由勾股定理。得EA^2+AC^2=CE 【思路导航】设AE=xkm。用x表示出BE的 因为CE=BE， 长，在Rt△CAE和Rt△DBE中，由勾股定理 表示出CE^2和DE-，再根据CE=DE列出方 所以EA^2+6^2=(8~EA)^， 程求解．……………_ 解得EA=子解：设AE-x km，剩BE=(160-x)km。 所以EA的长为，，根据题意，得CE-DE． 【点拨】本题利用了勾股定理的逆定理来判定直角三△CAE中，由勾股定理，得CE=-AC^2+AE 20^x+x’． 角形。若△ABC的三边长abc满足a+b=c，则在Rt△DBE中，由勾股定理，得DE-BE=+BD ABC是直角三角形． （100-y)^2+60^， 举一反三所以20^2+x2-(100-x)+60^∘， 1.在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形解得x=66． 中，不能构成直角三角形的是（））所以AE=66km，BE=34km 【点拔】因为勾股定理的适用范围是直角三角形，所以 A.a=1.5，b=2，c=3 在应用勾股定理时，一定要看清题目中有无可以利用 B.a=7，b=24，c=25 的直角三角形，如果没有，应通过作辅助线或根据实 C.a♮b∶c=3∶4﹖5 际问题的具体特点，构造所需要的直角三角形． D.a=9.b=12，c=15 2.在△ABC中，∠A.∠B，∠C所对的边分别是 举一反三 a，b；c，且满足|^2-a^2-b6|+(a-b)=0.试上如图，一架秋千静止时，踏 判断△ABC的形状． 板离地面的距离DE= 解：因为|c’-a^2-b^i|+(a-b)^∘=0， 0.5m，将它往前推送1.5m 所以e^2-a^3-b=0.且a-b=0，(水平距离BC