第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：三角函数求值 经典题型二：三角函数式的化简与证明 经典题型三：三角恒等变换与三角函数的综合应用 经典题型四：三角恒等变换与向量的综合运用 经典题型五：三角恒等变换的实际应用 模块三：数学思想与方法 ① 分类讨论思想②转化与化归思想③函数与方程思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：三角函数求值 例1．（2023春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知且． (1)求，，； (2)若为锐角，且，求． 【解析】（1）因为，所以； 又，，，所以，则，，又，且，解得：，. （2）因为且，所以，， 因为为锐角，，所以， 则 . 例2．（2023秋·江苏常州·高一校考期末）计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【解析】（1）原式 . （2）原式， 即， 因为，则，所以，，则， 因此，. 例3．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考期末）（1）已知，且，求； （2）化简：. 【解析】（1），, 又 ， , ，,    ; （2） . 例4．（2023·全国·高三专题练习）计算求值： (1)计算的值； (2)已知、均为锐角，，，求的值． 【解析】（1） ． （2）、都为锐角，则， ，， ． 例5．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小． 【解析】（1），，，， ，， ； （2）由（1）得，，， ， 由，得， . 例6．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）由题意可得：. （2）由（1）可知：， 则， ∵，，则，， 可得， 故 例7．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）已知，，，求的值. 【解析】， ， ，， . 所以. 例8．（2023秋·浙江·高一期末）已知，满足． (1)求的值； (2)若是锐角，且，求． 【解析】（1）由诱导公式得，① ∴, ∴，而， ∴，∴， ∴，② 由①②得：，∴. （2），∴， 又，∴, ∴ ． 例9．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【解析】（1）∵， ∴，解得. ∴； （2）∵，且，∴， ∴， ∴，又， ∴，∴. ∴， 又∵， ∴. 例10．（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知，，，都是锐角，求的值． 【解析】因为，，，都是锐角， 所以，． 所以 因，为都是锐角，所以，．所以， 所以． 经典题型二：三角函数式的化简与证明 例11．（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）证明： 【解析】证明：由二倍角公式以及可得， 得证． 例12．（2023春·上海奉贤·高一校考阶段练习）(1)证明恒等式： (2)化简： 【解析】（1） 得证. （2） 例13．（2023·江苏·高一专题练习）证明：； 【解析】证明： ， 故成立. 例14．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）观察下列各等式： ， ， ． (1)尝试再写出一个相同规律的式子； (2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明． 【解析】（1）． （2）若，则． 证明：． 又因为， 所以， 化简得． 例15．（2023春·广西桂林·高一校考期中）（1）求值： （2）证明： 【解析】（1）； （2） 例16．（2023·江苏·高一专题练习）证明：． 【解析】 例17．（2023·高一课时练习）小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③； ④； ⑤． (1)请依据②式求出这个常数； (2)相据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解析】（1）由②得； （2）三角恒等式为． 证明如下： ． 经典题型三：三角恒等变换与三角函数的综合应用 例18．（2023春·湖南株洲·高一统考阶段练习）已知函数，． (1)求的最小正周期； (2)求图象的对称轴方程和单调递减区间． 【解析】（1）因为， 所以最小正周期为. （2）令，解得， 所以图象的对称轴方程为， 令， 解得， 所以图象的单调递减区间为. 例19．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数，，若，的最小值为 (1)求在区间上的值域； (2)若，，求的值． 【解析】（1）由题意知： ， 因为，的最小值为， 所以，又，所以， 所以. 因为，所以， 所以， 所以在 区间上的值域为. （2）因为，，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以. 令，则且，则， 所以. 例20．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函