高中立体几何中的最小角定理与最大角定理的应用 讲义-2023届高三数学二轮复习

最小角定理与最大角定理的应用 目录 最小角定理与最大角定理的应用 1 知识梳理 2 例题精选 4 1 三余弦定理 4 2 三正弦定理 9 3 最小角定理 12 4 最大角定理 17 5 两个定理综合应用 23 知识梳理 一、最小角定理 1． 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫作这条斜线和平面所成的角． 为什么要这样定义? 因为线面角的定义是为了反映直线相对于平面的倾斜程度的， 而任何一条直线和 平面内的所有直线所成的角的最大值都是 ， 而最小值可以反映直线的倾斜程度， 由此也可以引出下面的 最小角定理． 2． 最小角定理 线面角是平面的一条斜线与该平面内的直线所成角的最小值． 证明　如图， 是平面 的一条斜线， 点 在平面 内的射影是点 ， 直线 是平面 内除 以 外的的任意一条直线． 作 于点 ， 则 从而 ， 得证； 故三余弦定理可以直接推出最小角定理． 说明　三余弦定理有时也被称作“爪子定理”， 此外三余弦定理也是三面角余弦定理的特例． 二、最大角定理 1． 二面角的大小的定义 先直观的感受一下如下几个二面角的大小关系： 二面角大小的定义: 在二面角 的棱上任取一点 , 分别在半平面 内作 垂直 , 则 叫作 的平面角, 的度数就是二面角的度数. 为什么这样定义二面角的大小? 因为 是半平面 内的所有直线与另一个半平面 所成角的最大值. (对于任意给定一个二面 角, 此最小值均为 0 ) 先发挥一下空间想象力, 以 为圆心 , 定长 为半径, 在 内作半圆 , 设半圆弧的中点为 , 点 是 半圆上一动点, 它在 内的射影点为 . 则当点 从点 移动到点 的过程中, 点 的高度越来越高; 点 从点 移动到点 的过程中, 点 的高度越来越低. 从而当点 在点 处时, 即 时, 与 成的 角 的正弦值 最大, 从而角 最大. 2. 最大角定理 二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值. 证明　如图, 是二面角 的平面角,且 是 上异于点 的任一点,则 . (即三正弦定理: 线线角· 面面角 线面角). 从而 , 得证. 例题精选 1 三余弦定理 例 1 从点 出发的 3 条射线 , 每两条射线的夹角是 , 则直线 与平面 所成角 的余弦是 答案 . 解析 如图, 在 上取点 作 平面 , 垂足为 为 的射影, 则 是 与平 面 所成角, 由题意知: 为 的交平分线, 根据三余弦定理得: 即 , 故 . 例2 已知平面 , 直线 与 所成角的正切值为 , 直线 , 直线 , 且 和 所成 的角为 , 那么 与 所成的角为 答案 . 解析 如图, 设 为直线 在平面 上的射影, 则 . 又 , 由三垂线定理知 , 且 . 在平面 内作 , 设 和 所成的角为 , 则 , 由三余弦定理得 解得 , 即 . 所以 与 所成的角为 . 例3 如图,已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点, 则二面角 的余弦值为 ; 若点 为线段 上的动点 (不包括端点), 设异面直线 与 所成的角 为 , 则 的取值范围是 答案 . 解析 如图, 连接 , 设 , 易得 平面 , 所以 是二面角 的 平面角,易得 . 连接 , 则 为异面直线 与 所成的角或其补角, 由三余弦定理得到 即 , 又而 , 故 . 例 为空间单位向量, , 若空间向量 满足 . 且对任意 的最小值为 4 , 则 的最小值为 A. B. C. D. 答案 选 . 解析 设 为空间单位向量, 是棱长为 1 的正四面体. 空间向量 满足 , 在平面 内的投影 是 的平分线, 且 在 上的投影为 , 对任意的 的最小值为 点 到平面 的距离为 , 三余弦定理 得 , 故 . 的最小值即为点 到直线 的距离. 以下用两种方法求此距离: 法一 以 为圆心, 直线 为 轴, 在平面 内建立平面直角坐标系, 则点 到直线 : 的距离为 . 法二 利用三角函数角差求出正弦 由题意可得 , 所以 , 则 . 例5 (2018 全囯 I 卷理) 如图, 四边形 为正方形, 点 分别为 的中点, 以 为折痕 把 折起, 使点 到达点 的位置, 且 . (1) 证明: 平面 平面 ; (2) 求 与平面 所成角的正弦值. 答案 (1) 略; (2) . 解析 (2) 作 , 垂足为 , 由 (1) 知: 平面 . 不妨设 , 则 1 , 从而 , 又 , 故 . 于是 , 故斜线角 , 射影角