5.3.1函数的单调性（第二课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.1 函数的单调性 第 二课时 函数的单调性的简单应用 一 二 三 学习目标 利用导数求简单函数的单调区间 掌握利用导数判断函数单调性的方法 能利用导数的方法解决相关的单调性问题 复习回顾 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 注意 新课引入 判断函数的单调性 观察函数的图象 函数单调性的定义 利用导数的正负 问题1 如何探究函数的单调性？ 形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性. 新知探究 问题2 如何利用导数研究形如f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？ 例3 解： 和 把函数定义域划分成三个区间， 在各个区间的正负，以及 的单调性如表所示： x (－∞, －1) －1 (－1, 2) 2 (2, +∞) f′(x) f(x) x y O -1 1 • 2 • 追问1 对于 且 ，有 函数 的定义域为 . …… 解：（定义法） 新知探究 追问2 相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势？ 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 方法总结 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤： 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第1步，确定函数f (x)的定义域； 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势： 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 巩固练习 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, +∞) f′(x) f(x) x y O -1 • 1 • 课本P89 巩固练习 课本P89 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解： x 1 (1, +∞) f′(x) f(x) x y O • 1 • 新知探究：函数增长的快慢与导数的关系 问题3 如何说明对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况的不同呢？ y=lnx x y O 1 • (1) y=x3 x y O (2) 结论生成 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”. 函数增减的快慢与导数的关系 追问：如何理解函数y=f (x)增减的快慢与函数在某一范围内导数的绝对值有关？ 典例解析 例4 x y O 1 • 解： 巩固练习 课本P89 证明：函数 的定义域为 . 3. 函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c 巩固练习 课本P89 例5 设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1, ＋∞)内是增函数,求实数a的取值范围． 解：f ′(x)＝3x2＋a. ∵ f (x)在(1, ＋∞)内是增函数， ∴ 3x2＋a ≥ 0对x∈(1, ＋∞)恒成立， 即a ≥ －3x2对x∈(1, ＋∞)恒成立 . 又当x∈(1, ＋∞)时，－3x2 <－3， ∴ a ≥ －3. 典例解析 ∴实数a的取值范围是[－3, ＋∞) 小结提升 函数的单调性与其导函数的正负的关系： 注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围. 在某个区间(a, b)内 反之 ∵函数在(0,1]上单调递增 补充例题 $