5.3.1 函数的单调性课件（第二课时）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

TIAN JIA NING DEBIAO TI 5.3.1 函数的单调性 高二数学组 2023-02-07 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标： 1、理解可导函数的单调性与其导数的关系 2、能够利用导数确定函数的单调性及函数的单调区间 3、能够利用函数的单调性解决有关问题 教学重难点： 重点：利用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间 难点：证明不等式及根据单调性逆向求参问题 博学 笃志 雅行 厚德 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 复习引入 注 f ′(x)≥0 f ′(x)≤0 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 问题1 如何探究函数的单调性？ 判断函数的单调性 观察函数的图象 函数单调性的定义 利用导数的正负 y=x3－3x y=x3+3x 博学 笃志 雅行 厚德 探究新知 问题2 如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？ 原函数 定义域 导函数 求导运算 导函数的正负 原函数的单调性 解不等式 函数单调性与导数的关系 博学 笃志 雅行 厚德 例1 求函数 的单调区间. 典例分析 对于 且 ，有 函数 的定义域为 . 解：（定义法） …… 博学 笃志 雅行 厚德 解：（导数法） 令 ，解得 ，或 . 对 求导数，得 函数 的定义域为 . 单调递增 单调递减 单调递增 和 把函数定义域划分成三个区间， 在各个区间的正负，以及 的单调性如表所示： 所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示. 博学 笃志 雅行 厚德 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤： 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第1步，确定函数f (x)的定义域； 方法归纳 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势： 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 博学 笃志 雅行 厚德 单调递减 单调递增 单调递减 所以， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，如图所示. 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） （2） 解：（1）函数 的定义域为 . 巩固练习 对 求导数，得 令 ，解得 ，或 博学 笃志 雅行 厚德 解：（2）函数 的定义域为 . 单调递增 单调递减 单调递增 所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示. 对 求导数，得 令 ，解得 ，或 . 博学 笃志 雅行 厚德 问题4 能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？ 探究新知 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况. y = x3 博学 笃志 雅行 厚德 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”. 形成结论 函数增减的快慢与导数的关系 博学 笃志 雅行 厚德 解：因为 所以 当 x>1时， 当x=1时， 当0<x<1时， 所以，f(x), g(x)在(0,+∞)上都是增函数. 在区间(0,1)上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”； 在区间(1,+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”. 所以， f(x),