第一章 专题2 线段的垂直平分线与角平分线的综合应用-【数学一号】2022-2023学年八年级下册初二数学全能讲练一体化（北师大版）教用版

八年级（下册）·BS 专题2线段的垂直平分线与角平分线的综合应用学生用书见P2 类型一 利用垂直平分线和角平分线求角 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分 1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC ∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且 于点D,BC的垂直平分线交BC于点E,交 E为AB的中点 BD于点F,连接CF.若∠A=60°，∠ABD= (1)求∠B的度数： 25°，则∠ACF的度数为5 (2)若DE=5,求BC的长. 解：(1)DE⊥AB于 点E,E为AB的中 点，DE是线段AB 的垂直平分线..DA =DB.∠2=∠B.AD平分∠CAB,∠1 (第1题图) (第2题图) ∠2.∠C=90,.∠B=∠1=∠2=30°. 2.如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于 (2)DE⊥AB.∠B-30°，∴BD-2DE=10, 点I,三边的垂直平分线相交于点O.若 AD平分∠CAB,∠C=90,DE⊥AB..DC=DE ∠BOC=148°，则∠BIC的度数为127. =5..BC=CD+BD=15. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的 6.如图，在△ABC中，∠ACD=90°，AB=10, 平分线交BC于点D,DE是AB的垂直平 AC=6,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥ 分线，垂足为E AB,垂足为E,连接CE (1)求∠CAD的大小： (1)判断线段AD与CE是否垂直，并说明 (2)若BC=3,求DE的长. 理由： 解：(1)：DE是AB的垂 (2)求△BDE的周长. 直平分线，∴AD=BD. 解：(I)AD LCE.理由如 ∠B=∠EAD.义：AD是 下：：AD平分∠BAC, ∠CAB的平分线， ∠EAD=∠CAD.:DE ∠CAD=∠EAD.设∠CAD=x,则3x=90..a ⊥AB,.∠AED=90.在 =30,∴.∠CAD=30, △AED和△ACD中， (2):AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC,DE⊥ ∠EAD=∠CAD. AB,∴DC=DE.设DC=y,则DE=y,BD=3 ∠AED=∠ACD=90,. AD-AD. 在R△BED中.”∠B=30,DE=号BD,脚 △AED≌△ACD(AAS)..AE=AC=6,DE y=3,义，解得y=1,DE=1. DC,∴，AD是CE的垂直平分线.∴，AD⊥CE 2 (2)∠ACD=90,AB=10,AC=6,.BC 类型二 利用垂直平分线和角平分线求线段长 、AB-AC=8,BE=AB-AE=4.△BDE的 4.如图，已知∠BAC 周长=BD+BE+DE=BC+BE=8+4=12 60°，AD是∠BAC的 平分线，且AD=20, 类型三利用垂直平分线和角平分线进行 作AD的垂直平分线 证明 交AC于点F,连接 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平 DF,过点D作DE⊥ 分线交AC于点E,交AB于点D.F是BC AC于点E,则△DEF的周长为10+105· 上一点，FE平分∠AFC,交AC于点E, EG⊥AF于点G.求证： 48 第一章三角形的证明 (1)AG-BC: (1)求证：AD垂直平分EF; (2)AF+BF=2BC. (2)若∠BAC=60°，试写出DO与AD之间 的数量关系，并进行证明。 (1)证明：：AD为△ABC 的角平分线，DE⊥AB,DF AC'.∴.DE=DF,∠AED 证明：(1》如答图，连 =∠AFD=90.在 接BE.ED垂直平 RI△AED和Rt△AFD 分AB,∴.EB=EA. 「AD=AD, 中 .Rt△AED2Rt△AFD(HL). :EF平分∠AFC, DE=DF. D ∠C=90',EG⊥AF AE=AF.点A,D都在EF的垂直平分线上. 答图 ∴.∠C-∠EGA= AD垂直平分EF. 90,∴.EC=EG.在Rt△AEG和R1△BEC中 (2)解：D0=青AD.证明如下，？AD为△ABC的 EA=EB. .Ri△AEG≌Rt△BEC(HL).AG 角平分线，∠BAC=60°，.∠EAD=30".∴.DE= EG=EC. =BC. 2AD.∠EAD-30,DE⊥AB.∠DE0=30. EF-EF. (2)在Rt△ECF和Rt△EGF中， EC-EG. 0D-2DE.∴0D-AD Rt△ECF☑Rt△EGF(HL)..CF=GF,.AF+ 10.如图，已知AF平分∠BAC,BC垂直平分 BF=AG+GF+BF=BC+CF+BF =BC+BC= AD,垂足为E,点P在CF上，连接PB交 2BC.即AF+BF=2BC 线段AF于点M,连接CD,CM. 8.如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线 (1)求证：AB∥CD: 垂直平分线段AC,过点A作BC的平行线 (2)若