第一章 三角形的证明  章末小结与复习-【数学一号】2022-2023学年八年级下册初二数学全能讲练一体化（北师大版）教用版

八年级（下册）·BS 第一章章末小结与复习（学生用书见P44) 思维导图 (2)试探索AB+AC与四边形ADEF的周长 之间的关系。 性质：①等边对等角：②推论： 【思路导航】(1)要证明△ABC是等腰三角 等腰三角形 三线合一 形，需证明两个内角相等：(2)利用等腰三角 判定：等角对等边 形的性质得出边之间的关系，从而得到结论， 性质：三个内角都相等，都等于 60° (1)证明：DE∥AC,∴.∠BED=∠C.EF∥AB, 判定：①三个角相等：②一 ∠CEF=∠B.:∠BED=∠CEF.∴.∠B=∠C.∴ 等边三角形 个角等于60°的等腰三 △ABC是等腰三角形， 角形 (2)解：AB+AC=四边形ADEF的周长，理由如下： 反证法 由(I),得∠C=∠CEF=∠BED=∠B..EF=CF 性质：①锐角互余；②30°角所 DE=DB...AB+AC=CF+AF+AD+BD=EF+ 对的直角边等于斜边的 AF+AD+DE-四边形ADEF的周长，即AB+AC 一华 =四边形ADEF的周长。 角 直角三角形判定：①两角互余；②勾股定理 【点拨】在等腰三角形中，要证明线段或角相等，常利 形 的逆定理 用等边对等角，等角对等边进行证明。 的 直角三角形全等的判定 举一反三 证 互逆命题与互逆定理 明 性质：线段垂直平分线上的点到 1.如图，在△ABC中，AC=AD=BD,∠DAC= 这条线段两个端点的距离 80°，则∠B的度数是25 相等 线段的垂判定：到一条线段两个端点距离 直平分线 相等的点，在这条线段的 垂直平分线上 三角形三边的垂直平分线 (第1题图) (第2题图) 尺规作线段的垂直平分线 2.如图，在△ABC中，ED∥BC,∠ABC和 性质：角平分线上的点到这个角 ∠ACB的平分线分别交ED于点G,F.若 的两边的距离相等 BE=3,CD=4,ED=5,则FG的长为2· 判定：角内部到角两边距离相等的 角平分线 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别 点在这个角的平分线上 三角形三个内角的平分线 在边AB,BC,AC上，且BE=CF,BD=CE. 尺规作角平分线 (1)求证：△DEF是等腰三角形： (2)当∠A=45时，求∠DEF的度数. 要点讲练 要点一 等腰三角形的性质与判定 例①如图，在△ABC 中，DE∥AC,EF∥ AB,∠BED=∠CEF. (1)求证：△ABC是 答图 等腰三角形： (1)证明：：AB=AC,∴∠B=∠C.在△DBE和 450 第一章三角形的证明 BE-CF. 2.(2021·双流区校级期中)如图，已知△ABC, △ECF中， ∠B=∠C,∴.△DBE≌△ECF △CDE都是等边三角形，AD,BE相交于点 BD-CE. O,点M,N分别是线段AD,BE的中点. (SAS).∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形 (1)求证：AD=BE: (2)解：知答周，由(1)知，△DBE≌△ECF,∴，∠1 =∠3，∠2=∠4.：∠A+∠B+∠C=180°，AB= (2)求∠DOE的度数； Ac.∠B-号×080-45)-6.5.4+∠2 (3)求证：△MNC是 等边三角形. =112.5°..∠3+∠2=112.5.∠DEF= (1)证明：△ABC, 67.5. △CDE都是等边三角形，，AC=BC,(CD=(CE 要点二 等边三角形的性质与判定 ∠ACB=∠IXE=6O,.∠ACB+∠BCD=∠DCE 例②如图，在△ABC ∠BCD,即∠ACD=∠BE.在△ACD和△BCE中 中，AB=AC,∠BAC AC-BC. 120°，AD⊥BC,垂足为 ∠ACD=∠BCE.∴.△ACD≌△BCE(SAS.∴.AD G,AD=AB,点E,F分 CD=CE. 别在边AB,AC上，且 =BE. ∠EDF=60°.求证： (2)解：由(1)知，△ACD≌△BCE,,,∠ADC= (1)△ABD是等边三角形： ∠BEC.,△CDE是等边三角形..∠CED (2)BE=AF. ∠CDE=6O.∴.∠ADE+∠BED=∠ADC+ 【思路导航】(1)易知△ABD是等腰三角形， ∠CDE+∠BED=∠ADC+6O°+∠BED 再证明其中一个角等于60°即可得出结论： ∠CED+60°=120..∠D)E=180°-（∠ADE+ (2)BE和AF分别在△BDE和△ADF中， ∠BED)=60 可通过证明△BDE≌△ADF得出BE=AF. (3)证明：由(1)知，△ACD≌△BCE,·∠CAD= 证明：(1)：AB=AC,AD⊥BC..∠BAD=∠DAC ∠CBE,AD=BE.又：点M,N分别是线段AD,BE -号∠BAC=号×120-60.又yAD=AB.& 的中点AM= AD.BN-号BEAM=BN.在 △ABD是