专题03 三角恒等变换的灵活运用-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题03 三角恒等变换的灵活运用 【考点预测】 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）和角公式 （）， （）， （）. （2）差角公式 （）， （）， （）. 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 知识点3、降幂公式 ，， . 知识点4、半角公式 ，，. 其中，符号由所在象限决定. 知识点5、辅助角公式 ， 其中，.叫做辅助角，的终边过点. 【典型例题】 例1．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, ， 所以， 故选：D 例2．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知，且，其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由，则， 又，则， 综上，，故，则，各项中只有符合. 故选：B 例3．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 故选：C. 例4．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知，则下列描述中正确的是（    ） A．函数周期是 B．为锐角，函数最大值是 C．直线不是函数的一条对称轴 D．为钝角，函数没有最小值 【答案】B 【解析】 ， 函数周期是，故A错误； 当，所以，，所以函数最大值是，故B正确； 当时，，此时函数取到最大值，故直线是函数的一条对称轴，故C错误； 当，所以，，所以函数最小值是，故D错误. 故选：B. 例5．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考阶段练习）已知a＝（1+tan21°）（1+tan22°），b＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（　　） A．a＝b＝2 B．ab＝4 C．a2+b2＝9 D．a2＝b2﹣2 【答案】B 【解析】因为，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°， 故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°）， 故ab＝4，故B成立； 而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1， 故a＜b，故A错误； 而，故， 因，故，所以， 又若a2+b2＝9，则，解得， 因为， ，故无解，故C错误； 若a2＝b2﹣2，则，则， 这与矛盾，故D错误． 故选：B． 例6．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）若，则_________． 【答案】 【解析】， ， ， . 故答案为：. 例7．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的最大值是_______ 【答案】 【解析】， 令， 因为，所以， 因为，所以在上时单调递增， 所以有， 当时，， 所以在时，只取得一次最大值， 因此有， 综上所述：，所以的最大值是， 故答案为： 例8．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）计算：______． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：. 例9．（2023·广东·高一校联考期末）某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为． (1)将面积S表示为角的函数； (2)当角取何值时，S最大？并求出这个最大值． 【解析】（1）依题意，在中，，则， ，在中，，则， 因此， ， 所以面积S表示为角的函数是. （2）由（1）知，当时，，则当，即时，， 所以当时，. 例10．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，求函数的取值范围； (3)若，当时，直线与的图象有两个交点，求实数m的取值范围． 【解析】（1）， 由得：， 所以最小正周期是，单调递增区间是：，. （2）当时，，所以， 所以，即的取值范围是. （3）令，因为，则， 由题意，直线与的图象有两个交点，即直线与在恒有两个交点，由可知：或，， 若直线与在恒有两个交点，由正弦函数的图象可知： ，即. 例11．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）（1）求值： （2）已知，，且，，求的值. 【解析】（1）因为， ， 所以， 故； （2）因为，， 所以， 因为，， 所以， 又， ， 【过关测试】 一、单选题 1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，即， 解得或， 因为， 所以. 故选：A． 2．（2023