十八 计数原理-2024年新高考数学普通高中学业水平等级性考试总复习大纲

十八计数原理 ○分类加法计数原理 从甲地到乙地共有N=5种出行方案。 ∙内容〔631〕 利用分类加法计数原理解题的步骤〔632〕 ○分步乘法计数原理 内容〔633〕 基本计从甲地到乙地共有 数原理（甲地飞机1中线N=6种出行方案。乙地 飞机2_ 飞机3 利用分步乘法计数原理解题的步骤〔634〕 ○两个计数原理的区别与联系〔636〕 两个计数原理的应用 应用两个计数原理解决计数问题的注意事项〔635〕 涂色问题的两种解决方案〔637〕 解决计数问题的常用方法〔638〕 元素可重复选取的计数问题的解决方法〔639〕 ·含“双重性”元素的计数问题的解决方法〔640〕 ◇排列 ·概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 排列 排列数 与组合·概念〔641〕·排列数公式〔642〕特殊情况，全排列公式：A；=n(n- 1)(n-2)×…×2×1=n！ ○组合—____________ 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素作为一组，叫 ·概念做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 组合数﹒概念[643〕·组合数公式〔64〕﹒组合数的性质[645〕 计数原理·数学 ·344· O排列与组合的区别和联系〔646) 排组分清，加乘明确； 排列与组合的应用 有序排列，无序组合 ·解决排列组合问题遵循的原则〔647] 分类加法，分步乘法 限么公 排列问题的常见形式及解决方法〔648】 组合问题的常见形式及解决方法〔649] 分组问题的常见形式及处理方法〔650 ·分配问题的常见形式及处理方法〔651) 二项式定理及二项展开式的通项 (a+br与(b+a)r 二项式定理及二项展开式〔652 的二项展开式的通 项的区别 二项展开式的通项〔653) 654 注意 二项式系数 。定义 杨辉三角： 二项展开式中各项的系数 在三角影 当n依次取1,2,3，…时，(a+ 中的一种 b”展开式的二项式系数可以表 C(k=0,1,2,…,n)叫做 几儿何排列 示成如下表的形式： 二项式系数 (a+b）八…1 二项式系数与项的系数的区别[655】 (a+b)2……l 2 二项式系数的性质〔656】 (a+b)）月.…1 3 3 限公 ①对称性 ②增减性与最大值 上表叫做二项式系数表，也称为 杨辉三角 二项式定理的应用 求二项展开式的系数最大（小）的项〔657 二项式 利用二项展开式的通项求特定项或特定项的系数 定理 ·求(a+bP的展开式中的特定项或特定项的系数的方法〔658】 18 ·求形如(a+b严(c+d的展开式中与特定项相关的量的步骤〔6⑤9] ·求形如(a+b+c的展开式中特定项的解题方法〔660] ①因式分解法 ②逐层展开法 ③组合知识法 。巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题〔662】 ①求二项式系教和 ②求各项系数和 应用二项式定理解决整除问题[661) 应用二项式定理证明有关不等式的方法〔663] 计数原理·数学 .345. 631.分类加法计数原理：完成一件事有 从甲地到乙地共有V=5种出行方案 飞机 n类不同方案，在第1类方案中有m1种不 飞机2 飞机3 同的方法，在第2类方案中有m2种不同 高铁1 的方法，…，在第n类方案中有mn种不同 铁2 的方法，那么完成这件事共有N=m,+m2+…+m。 种不同的方法 素养拓展从集合运算的角度分析分类加法计数原理：设完成一件事情的方法的集合是 U,且card(U)=N.如果完成这件事的方法可以区分为互不相同的n类，记为A,A,, An,即A1,A2,…,An是U的两两不交的子集，且A,UA2U…UAn=U,设cad(A,)=m1, card(A)=m2,…,card(An)=mn,那么N=card(U)=card(AUA2UUAn)）=card(A)+ card(A2)+…+card(An）=m+m2+:+ma 632.利用分类加法计数原理解题的步骤。 例设a,b,ce{1,2,3,4},若以a,b,c为三条边的长构成一个等腰三角形，求这样的 三角形的个数， 根据条件将完成事 分类①→解：设a,b是腰长，根据腰长分四类： 件的所有方法进行 分类 第1类，当a=b=1时，c<a+b=2,则c=1 第2类，当a=b=2时，c<a+b=4,则c=1,2,3; 分别求出每一类中 计数② 方法的个数 第3类，当a=b=3时，c<a+b=6,则c=1,2,3,4; 根据分类加法计数 第4类，当a=b=4时，c<a+b=8,则c=1,2,3,4 18 原理求和 结论③一因此符合条件的三角形的个数为1+3+4+4=12 633.分步乘法计数原理：完成一件事需要个步骤，做第1步有m,种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方