七 复数-2024年新高考数学普通高中学业水平等级性考试总复习大纲

七复数 北凉宏达一甲 有限公 复数的定义〔259】 复数的表示 复数的 相关概念 复数通常用字母x表示，即z=a+bi(a,b∈R).这一 表示形式是复数的代数形式，a叫做复数的实部，b叫 复数的相 做复数的虚部，分别记作Re(z)=a,Im(z)=b 关概念 复数相等的充要条件〔260] 复数的分类[261] 复数的几何意义〔262] 复平面内关于实（虚）轴对称 的，点的坐标规律 266 复平面与复数的坐标表示 如图，点的横坐标是a,纵坐标是b,复数z= a+i可用，点Z(a,b)表示，这个建立了直角 坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫 b Z:a+bi 做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都 表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯 虚数。 。复数的向量表示 0 有限公 如图，设复平面内的点Z(a,b)表示复数z=a+i,我们常把复数z= a+i说成，点Z或说成向量OZ,并且规定，相等的向量表示同一个复数 复数几何意义的两类常见问题及解题思路〔263] b复数的模 复数模的概念及其几何意义〔264 。复数模的性质[265] 共軛复数 0 共轭复数的概念〔267) 共轭复数的性质〔268) 化复数为标准代数形式的方法 [275 复数的四则运算法则〔20 复数加减法的几何意义〔271] 复数的四 则运算 复数加法与乘法的运算律〔22] ⅰ的正整数指数暴的周期性 〔274〕 复数的乘方 O复数运算的技巧[273 实系数一元二次方程在复数范国内根的情况 应用 [269J 复数·数学 ·136· 259.形如a+bi(a,beR)的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚 数单位，2=-1_ 260.若a,b,,d∈R,则a+i=c+di=a=c且b=d_特别地，a+bi=0片a三 b=0 素养拓展虚数与实数一样有相等与不相等之分，那么虚数与实数是否一样有大小之 分呢？说明理由 答案：实数有大小之分，但虚数没有大小之分.理由如下：引入虚数单位1后，规定2= -1,但i与0的大小关系不能确定.若i>0,则2i>i,不等式两边同乘i,得2>2，即 -2>-1,与实数系中数的大小规定相矛盾：若i<0,则-2i>-i,不等式两边同乘i, 得-22<-，即2<1，与实数系中数的大小规定相矛盾.综上可知，虚数没有大小 之分 261.复数的分类 纯虚数(a三0) 虚数集 复致z=a+bi (虚数(b主0) 对应集合 数集 非纯虚数(a主O) (a,b∈R) 间的关系 纯虚数集 实数集 实数(6三0) 262.复数的几何意义：复数=a+bi(a,bER)与复平面内的点Z(a,)一一对 与平面向量0立一一对应， (虚轴)y1 Z(a,6) 6 点Za,b),向量0Z均可表示复 数z=a+bi. OZ 限公司 (实轴) 复数·数学 ·137 263.复数的几何意义的两类常见问题及解题思路如下： 已知复数z,判断其对应的复平面内点的 已知复数（含参）对应的复平面内的点满 位置 足的条件，求参数的取值范围 ①将复数化为标准形式z=a+bi(a,b∈R); ①将复数化为标准形式： ②根据复数与复平面内的点一一对应，得到 ②根据复数与复平面内的点一一对应，得 对应点的坐标Z(a,b): 到对应点的坐标（含参）； ③根据a,b的符号判断点的位置。 ③根据点满足的条件列关于参数的不等式 (组)； ④解不等式（组）求出参数的取值范围： 怎么考若复数云，=(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值 范围。 ① 2 3 将已知复数化为标准 由复数对应点的位置 解不等式组求出参数 代数形式， 列不等式组为 的取值范围是 即z1=(1-i)(a+i)月 fa+1<0, a+1+(1-a)i a∈(-，-1) 1-a>0 264.设复数z=a+i(a,b∈R)对应的向量为0立，则向量0Z的模 叫做复数z= a+bi的模或绝对值，记作lzl或|a+bi.即lzl=la+bil=a+b·lz的几何意 义是复数z对应的点到原点的距离， 265.复数模的性质. 技有限公司 名1·z2=1a1·1a2l; 12 |z1=|z(n∈N); 34 1 1z1 2≠0) 1,-11≤±s61+6/技有 怎么考 已知(1-i)2z=3+2i,求d. 3+2i 3+2i 性质3 1z= 13+2il 性质2 名= (1-i)2 z= 1(1-i)2 1z1=3+2i lz1=3 (1-i)2 11-i3 2 复数·数学 ·138· 266.设复数，=4，+6，=4，+i41,,4,e).甲 ①如图1：若1,2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则a1+a2=0,b=b2, 1z1-21=21a11(或21a21); ②如图2：若1，在复平面内对应的点关于实轴对称，则