九 空间向量-2024年新高考数学普通高中学业水平等级性考试总复习大纲

九空间向量 限公 空间向量的相关概念 ·法则及运算律 共线向量定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0)，a∥b的充要 条件是存在实数1，使a=2b 线性 空间向量 运算 证明空间三，点共线的方法 324j】 的运算 共面向量定理 O 数量积运算 如果两个空间向量a,b不共线，那么向量p与 向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实 意义、运算律 数对(x,y),使p=a+yb 性质等与平面 向量类似 证明空间四，点共面的方法 322 325j 空间向量 基本定理 定理的实质 323 定理内容 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯 一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+b+c 有限公司 常见的建 〔326] 系方法 向量运算的坐标表示 定比分点坐标公式 337 O两空间向量共线、垂直、模、所成夹角的坐标表示 空间向量及 其运算的坐 求平面法向量的基 标表示 空间中点、直线和平面的向量表示 本步骤 327 空间图形位置关系的向量表示 ·直线与直线位置关系的向量表示〔328) 。直线与平面位置关系的向量表示〔329] 利用向量法求几 种空间角的步骤 空间向量 平面与平面位置关系的向量表示〔330) (331)色 的应用 利用空间向量求夹角 。向量法求两条异面直线所成的角〔332】 向量法求直线与平面所成的角〔333) 二平面与两个半平面的法向量的夹角之间的关系〔334) 利用空间向量求距离 立体几何中的探。 索性问题的常见 ·向量法求点到平面的距离〔335j 类型〔338 ·相互平行的直线与平面、平面与平面之间距离的求解方法〔336) 空间向量·数学 ·168· 322.空间向量线性运算的意义、运算律，数量积的运算及其性质与平面向量 类似。 323.空间向量基本定理说明用三个不共面的已知向量a,b,c可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的 324.证明空间三点P,A,B共线的三种方法 ①PA=APB(A∈R)； ②对空间任一点0,0P=0A+tAB(t∈R): ③对空间任一点0,0P=x0i+y0B(x+y=_1) 325.证明空间四点P,M,A,B共面的四种方法 9 ①MP=xM+yMB: ②对空间任一点0,0丽=0+xM+yM丽： 有限 ③对空间任一点0,0P=x0Mi+y0A+:0B(x+y+z=1)； ④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM) 素养拓展尝试根据“对空间任一点0,0P=x0M+y0A+z0B(x+y+z=1)”,证明 P,M,A,B共面. 答案：x+y+z=1, .0p=x0M+y0+(1-x-y)0i =0i+x(0m-0B)+y(0A-0B) OB+x BM+y BA 北京宏达一甲数育技有调 即OP-OB=B驴=xBi+yBA, ∴.向量BP,BM,BA共面 又Bd,BM,BA过同一点B, .P,M,A,B共面。 空间向量·数学 ·169 326.建立空间直角坐标系的前提是存在两两垂直的三条直线，故需根据几何 体的结构特征，利用已知垂直关系或构造垂直关系建系.常见的建系方法如下： 利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 利用线面垂直建系 限公 D B B C t 利用线面垂直的性质定 12 理得到线线垂直，建系 34 利用面面垂直建系 利用图形中的对称关系建系 D D 利用面面垂直的性质定理得到线 正校锥可利用底面中心 面垂直，进而得到线线垂直，建系 及高所在的直线建系 有限 327.求平面x的法向量的基本步骤如下： 例已建立空间直角坐标系如图，且AD=CD=PD=2,求平面PBC的法向量. 第1步 设n=(x,y,z)是平面a的法向量 设平面PBC的法向量为n=(xyz)为 第2步) 找出平面内的两个不共线向量a=(a,b,G),b=(a,b2,92) D :AD=CD=PD=2,.C(0,2,0),P(0,0,2), B(2,2,0),CB=(2,0,0),C=(0,-2,2) B 第3步 根据垂直建立关于x,y,的方程组 n·CB=0 r2x=0, n·a=0,x+by+c2=0, n·C-0. 即 n·6=0,即agx+b3+eg0 1-2y+2z=0 空间向量·数学 ·170· 第4步)解方程组，取其中一个解，即可得到一个法向量 法向量仅规定方向，所以可把法向量的某个坐标设为1或其他容易求解的量 易知x=0,令y=⊥，则=⊥，∴平面PBC的一个法向量为n=(0,L,1) 328.设直线41，k的方向向量分别为a,b,则4∥%2或4与k重合a∥b一存在实 数t,使a=b;山1⊥l2→a⊥b曰a·b=0: 329.设直线1的方向向量为a,平面a的一个法向量为n,”,是与a平行的两个 不共线向量，则直线与平面的位置关系用空间向量表示为： 1∥a或lCa=存在