专题03 圆锥曲线-2023年高考数学【名校冲刺】简答题型突破（全国通用）

专题03圆锥曲线 1.已知抛物线与直线相交于A，B两点，线段AB的长为8． (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线l与抛物线C交于M．N两点，点P为直线上的任意一点，设直线PM，PQ，PN的斜率分别为，且满足，能否为定值？若为定值，求出的值；若不为定值，请说明理由． 2.已知拋物线：，点是拋物线的焦点，直线与拋物线交于两点．点的坐标为． （1）分别过，两点作拋物线的切线，两切线的交点为，求直线的斜率； （2）若直线过抛物线的焦点，试判断是否存在定值，使得． 3．设为抛物线上两点，且线段的中点在直线上． （1）求直线的斜率； （2）设直线与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，，当直线经过抛物线的 焦点时，求的值． 4.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点． （1）若，求的面积． （2）已知圆，过点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点分别为，， 求证：直线与圆相切． 5.若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为，点在椭圆上，轴，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）将椭圆按照坐标变换得到曲线，若直线与曲线相切且与椭圆相交于，两点， 求的取值范围． 7.已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且． （1）求椭圆与抛物线的方程； （2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于，两点，求证：为定值． 8.已知椭圆的长轴长是焦距的倍，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P是圆心在原点O，半径为的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E､F，求动弦长的取值范围． 9.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线过定点． 10.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、．设是椭圆上一点， 满足⊥轴，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积． 11.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是椭圆C的一个顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线与的斜率之和为，证明：l过定点． 12.已知右焦点为的椭圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 13.椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值． 14.已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 15.已知动圆过定点且与直线相切． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、四点，求四边形面积的最小值． 16.已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于，两点，且，求直线的方程． 17.已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 18.已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于点A，B(点B在x轴下方)，，直径为BD的圆过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线上． 19.已知斜率为k的直线l与椭圆C：交于A，B两点，线段AB的中点为. （1）证明：； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且.证明：，，|成等差数列，并求该数列的公差. 20.已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点 （1）求实数的值； （2）求（为原点）面积的最大值． 21.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆相交于，两