专题04 导数-2023年高考数学【名校冲刺】简答题型突破（全国通用）

专题04导数 1.已知函数， (1)当时，求的单调区间； (2)当，讨论的零点个数； 2.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围. 3.已知函数，. (1)当时，总有，求的最小值； (2)对于中任意恒有，求的取值范围. 4.已知函数： (I)当时，求的最小值； (II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围． 5.已知函数. (1)若，，求的最大值； (2)当时，讨论极值点的个数. 6.设函数，，其中，是自然对数的底数． (1)若在上存在两个极值点，求的取值范围； (2)若，，函数与函数的图象交于，，且线段的中点为，证明：． 7.已知函数，的最大值为． (1)求实数b的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．已知函数． （1）若函数，讨论在的单调性； （2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值． 9.设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：． 10.已知函数，． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）当时，证明：． 11.已知函数满足，且曲线在处的切线方程为． （1）求，，的值； （2）设函数，若在上恒成立，求的最大值． 12.已知函数，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 13.已知函数，． （1）若函数没有极值点，求实数的取值范围； （2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围． 14.已知函数． （1）求讨论函数的单调性； （2）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围． 15.已知函数，． （1）当在点处的切线与直线平行时，求实数a的值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 16.已知函数． （1）当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式； （2）讨论关于x的方程解的个数． 17.已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上有两个极值点， ． （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 18.已知函数，． （1）当时，求的最大值； （2）当时， （i）判断函数的零点个数； （ii）求证：有两个极值点，且． 19.已知． （1）求的单调区间； （2）设，，为函数的两个零点，求证：． 20．已知，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：，其中，. 21.设函数. （1）当时，求的单调区间是的导数)； （2）若有两个极值点､，证明：. 22.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，. 23.已知函数，. （1）设，，讨论函数的单调性； （2）若函数存在两个不同的极值点，，且，，求证：. 24.已知函数 （1）若在处的切线斜率为，求函数的单调区间； （2）设，若是的极大值点，求的取值范围． 25.已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论的零点个数. 26.已知函数，. （1）若，过点作曲线的切线，求切点坐标； （2）讨论函数的零点个数. 27.已知函数． （1）若，求在处切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值． 28.已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点 ①； ②． 29.设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04导数 1.已知函数， (1)当时，求的单调区间； (2)当，讨论的零点个数； 【解析】∵∴为偶函数， 只需先研究, , , 当，，当，， 所以在单调递增，在，单调递减, 所以根据偶函数图象关于轴对称， 得在单调递增，在单调递减， .故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，. (2), ①时，在恒成立, ∴在单调递增 又，所以在上无零点 ②时，， 使得，即. 又在单调递减， 所以，，， 所以，单调递增，，单调递减， 又， (i)，即时 在上无零点， 又为偶函数，所以在上无零点， (ii)，即. 在上有1个零点， 又为偶函数，所以在上有2个零点， 综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点. 【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 2.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2). 【解析】(1)函数的定义域为. (i)若，则； (ii)若，则由得，由得；