第一章 命题点5 二次根式及其运算 （精讲册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习（教用版）

一战成名·福建数学 命题点５　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 二次根式及其运算 中 考 要 求 １．了解二次根式、最简二次根式的概念； ２．了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算． 　　要点归纳 １．定义：形如槡ａ（ａ　≥０　）的式子叫作　二次根式　，ａ叫作　被开方数　． ２．二次根式有意义的条件 （１）被开方数　≥　０； （２）当被开方数为分数，分母中有字母时，要保证被开方数为非负数，且分母不为零． 常见类型 槡ｘ ｙ 槡ｘ 槡ｘ ｙ 槡 ｘ＋１ｙ ｙ 槡ｘ 根式有意 义的条件 　ｘ≥０　 　ｘ＞０　 　ｘ≥０且ｙ≠０　 　ｘ≥０且ｙ≠０　 　ｘｙ≥０且ｘ≠０　 ３．最简二次根式满足的条件 （１）被开方数不含　分母　，如 １槡３， １ 槡２ 均不是最简二次根式； （２）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如槡８，槡１２均不是最简二次根式． ４．同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式．如槡１２（化简后为 ２槡３）与槡３就是同类二次根式． ５．性质 （１）（槡ａ） ２＝　ａ　（ａ≥０）； （２） ａ槡 ２＝｜ａ｜＝ 　ａ　（ａ≥０）， 　－ａ　（ａ＜０{ ），注：只有当ａ≥０时， ａ槡 ２＝（槡ａ）２； 口诀：平方在外边，直接去根号；平方在里边，加上绝对值，分类来讨论． （３）槡ａｂ＝槡ａ·槡ｂ（ａ≥０，ｂ≥０）； （４） ａ槡ｂ＝ 槡ａ 槡ｂ （ａ≥０，ｂ＞０）． 注：（３）（４）常应用于开方运算或将根式化为最简二次根式，几个常用根式的化简如下： ①槡８＝ ２×　４槡 　＝槡２× 　４槡 　＝　２槡２　；　　②槡１２＝ ３×　４槡 　＝槡３× 　４槡 　＝　２槡３　； ③槡１８＝ ２×　９槡 　＝槡２× 　９槡 　＝　３槡２　；　 ④槡２４＝ ６×　４槡 　＝槡６× 　４槡 　＝　２槡６　； ⑤ １槡２＝ ２ 　４槡 　＝ 槡２ 　４槡 　 ＝　槡２２　． ６．二次根式的运算 （１）加、减运算步骤：①化简为最简二次根式；②合并同类二次根式； 切记：槡ａ＋槡ｂ≠ ａ＋槡 ｂ． （２）乘法运算：槡ａ·槡ｂ＝　槡ａｂ　（ａ≥０，ｂ≥０）； （３）除法运算：槡ａ 槡ｂ ＝　 ａ槡ｂ　或槡ａ÷槡ｂ＝　 ａ÷槡 ｂ　（ａ≥０，ｂ＞０）； （４）混合运算：先乘除，再加减；有括号先算括号里的（或先去掉括号）． 【易错警示】二次根式运算的最终结果应化为最简二次根式． ６ 一战成名·福建数学 ７．非负数的性质 （１）非负数：在实数范围内，正数和零统称为非负数，常见的非负数有： ①任意实数ａ的绝对值是非负数，即｜ａ｜≥０； ②任意实数ａ的平方是非负数，即ａ２≥０； ③任意非负数ａ的算术平方根是非负数，即槡ａ≥０（ａ≥０）． （２）非负数的和：若几个非负数的和为０，则这几个非负数分别为０． ８．分母有理化 （１）分母有理化：把分母中的根号化去，叫作分母有理化； （２）类型： ①单项分母：利用公式（槡ａ） ２＝ａ． 如 ２ 槡３３ ＝ 槡２×３ 槡 槡３３×３ ＝ 槡２３９；槡 １ ３＝ １ 槡３ ＝ 槡１×３ 槡 槡３×３ ＝槡３３． ②两项分母：利用平方差公式（槡ａ＋槡ｂ）（槡ａ－槡ｂ）＝ａ－ｂ． 如 ５ 槡 槡３＋２ ＝ ５（槡 槡３－２） （槡 槡３＋２）（槡 槡３－２） ＝ ５（槡 槡３－２） （槡３） ２－（槡２） ２ ＝５（槡 槡３－２）３－２ ＝５（槡 槡３－２）． 注：分式化简求值中代入根号值时，需注意将分母有理化． 　　课堂小练 １．（人教八下Ｐ１３问题改编）判断下列二次根式是否可以合并（其中所有字母均为正数），可以合并的打“√”， 不能合并的打“”． （１）３ ４槡ａ与 １ ２ ２槡ａ（　　） （２）４ ｘ ２ 槡 ｙ与 １６槡 ｘｙ（　　） （３） ａ２槡 ｂ与 ａｂ槡 ２（　　） （４）ｃｂ ａｂ ３ｃ槡 ５与４ｂ２ｃ ｃ槡ａｂ（　√　） ２．（人教八下Ｐ５复习巩固改编）当ｘ满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （１） ５－３槡 ｘ：　ｘ≤ ５ ３　；　　　　　　　　　　（２） － ３ ２ｘ槡 －１：　ｘ＜ １ ２　； （３） ｘ槡 ２＋１：　ｘ取全体实数　； （４） ｘ３槡 －１：　ｘ≥３　； （５） （ｘ－２）槡 ２：　ｘ取全体实数　； （６） ｘ槡 ＋８ｘ－４：　ｘ≥－８且ｘ≠４　． ３．（北师八上Ｐ４８知识技能改编）计算下列各式： （１）槡８－槡１２＋槡２７－槡２； （２）（槡１８－槡２）× １ 槡２． 解：原式＝２槡２－２槡３＋３槡３－槡