第二章 命题点5 一元二次方程及其解法 （精讲册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习（教用版）

一战成名·福建数学 命题点５　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 一元二次方程及其解法 中 考 要 求 １．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； ２．经历估计方程解的过程． 　　要点归纳 １．一元二次方程的一般形式 形如ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的方程叫作一元二次方程，其中ａ是　二次项系数　，ｂ是　一次项系数　，ｃ是 　常数项　． 【为什么ａ≠０呢】对于方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，只有当　ａ≠０　时才是一元二次方程；如果说ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０是 一元二次方程，则必然隐含着　ａ≠０　． ２．一元二次方程必须同时满足以下三个条件（先化简，再判断）： （１）是　整式方程　；（２）只含有　一　个未知数；（３）未知数的最高次数是　２　． ３．一元二次方程的解法（基本思想：降次） （１）直接开平方法 适用类型：ａｘ２＋ｃ＝０（ａ≠０，ａｃ≤０） 适用类型：（ｘ＋ｍ）２＝ｎ（ｎ≥０） 解答步骤及注意事项 解答步骤及注意事项 根据方法步骤写出解答过程： 例１：解方程：９ｘ２－４＝０． 解：　９ｘ２＝４　， →　　　　　 移项， 　ｘ２＝４９　 →， 二次项系数化为１， 　∴ｘ１＝ ２ ３，ｘ２＝－ ２ ３　 →． 两边开方可得结果． 根据方法步骤写出解答过程： 例２：解方程：（ｘ－１）２－１６＝０． 解：（ｘ－１）２＝１６， →　　 　移项　， ∴ｘ－１＝±４ →， 　两边开方　， ∴ｘ１＝５，ｘ２＝－３ →． 　计算可得结果　． （２）公式法 适用类型：所有一元二次方程 解答步骤及注意事项 例３：解方程：５ｘ２－４ｘ－１＝０． 解：　∵ａ＝５，ｂ＝－４，ｃ＝－１　， →　　　　　 确定ａ、ｂ、ｃ的值（注：要带前面的符号）； 　∴Δ＝（－４）２－４×５×（－１）＝３６＞０　 →， 求出ｂ２－４ａｃ的值； 则　ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ ４±槡３６ １０ 　 →， 若ｂ ２－４ａｃ≥０，则将数值代入求根公式，求出ｘ１，ｘ２， 　　若ｂ２－４ａｃ＜０，则方程没有实数根． 即　ｘ１＝１，ｘ２＝－ １ ５　． ６２ 一战成名·福建数学 （３）因式分解法 适用类型：方程左边能分解出两个因式的积，右边等于０ 解答步骤及注意事项 例４：解方程：ｘ２－４ｘ＝－３． 解：　ｘ２－４ｘ＋３＝０　， →　　　　　　　 移项 ，将方程的右边化为０； 　（ｘ－１）（ｘ－３）＝０　 →， 化积，把方程的左边分解成两个一次因式的积； 　则ｘ－１＝０或ｘ－３＝０　 →， 转化，令每个因式分别等于０； 　解得ｘ１＝１，ｘ２＝３　 →． 求解，解这两个一元一次方程． （４）配方法 适用类型：（１）二次项系数化为１后，一次项系数是偶数；（２）各项系数较小且便于配方 解答步骤及注意事项（解二次项系数为１的方程的解答过程） 例５：解方程：ｘ２＋２７＝１２ｘ． 解：　ｘ２－１２ｘ＝－２７　， →　　　　 移项，使等号左边为二次项和一次项，右边为常数项； 　ｘ２－１２ｘ＋３６＝－２７＋３６　 →， 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； 　（ｘ－６）２＝９　 →， 使方程变成（ｘ＋ｍ）２＝ｎ； 　ｘ－６＝±３　 →， 开方，如果ｎ≥０，就可以左右两边开平方得ｘ＋ｍ＝±槡ｎ； 　∴ｘ１＝９，ｘ２＝３　 →． 求解，在ｎ≥０的前提下，方程的解为ｘ＝－ｍ±槡ｎ． 那么二次项系数不为１的方程如何解呢？同学们可以尝试一下哦 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 殏 殏殏 殏 ！ 利用配方法求最值 当ｘ＝　３　时，代数式ｘ２－６ｘ＋１０有最　小　（填“大”或“小”）值，是　１　； 当ｘ＝　－２　时，代数式２ｘ２＋８ｘ－３有最　小　（填“大”或“小”）值，是　－１１　； 当ｘ＝　－４　时，代数式－１２ｘ ２－４ｘ＋７的最大值是　１５　． 【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ的形式，当ａ＜０，ｘ ＝－ｈ时，该二次三项式有最大值，为ｋ；当ａ＞０，ｘ＝－ｈ时，该二次三项式有最小值，为ｋ． 　　课堂小练 １．选择你认为最适当的方法解方程． （１）ｘ２－４ｘ－５＝０； 解：ｘ２－４ｘ－５＝０， 分解因式得（ｘ＋１）（ｘ－５）＝０， 则ｘ＋１＝０或ｘ－５＝０， 解得ｘ１＝－１，ｘ２＝５； 　　　 （２）