导数专项训练十：隐零点问题-2022-2023学年高二下学期数学选修2-2

导数专项训练十：隐零点问题 1、已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ． (1)求实数 的值; (2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值． 2.已知函数f(x)＝＋，若f(x)>在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值. 3．已知不等式对 恒成立，求整数a的最小值. 4.已知函数 （1）讨论的导函数的零点的个数 （2）证明：当时， 5. 不等式对恒成立，求整数k的最大值． 6. 若函数在上有且仅有一个零点. 求证：此零点是的极值点； 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数专项训练十：隐零点问题 参考答案 1、已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ． (1)求实数 的值; (2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值． 【分析】（1）先求导，再利用解出即可； （2）先参变分离得到，再构造函数，求导确定单调性后求出的范围， 即可求出 的最小值. 【详解】(1)由题意知：，，解得； (2)由（1）知：，存在 使 成立等价于，令， 则，令，则，所以在上单增， 又，故存在使，即， 故当时，单减，故当时，单增， 故，故， 又且，故 的最小值为4. 2.已知函数f(x)＝＋，若f(x)>在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值. 【详解】　由于f(x)>⇔(x＋1)f(x)＝>k. 令h(x)＝＋， 则由题意得，k<h(x)min，其中x>0. h′(x)＝.令g(x)＝－ln(x＋1)＋x－1，其中x>0. 由于g′(x)＝－＋1＝>0， 故g(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，又由于g(0)＝－1<0， g(1)＝－ln 2<0， g(2)＝－ln 3＋1<0，g(3)＝－ln 4＋2>0， 故g(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，设为x0，并且x0∈(2，3). 由此当x∈(0，x0)时，g(x)<0，h′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，h′(x)>0. 故h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，从而h(x)的最小值为h(x0). 考虑到x0∈(2，3)为g(x)的零点，故ln(x0＋1)＝x0－1， 故h(x)min＝h(x0)＝ ＝ ＝x0＋1∈(3，4). 又k<h(x)min＝x0＋1， 故满足条件的整数k的最大值为3. 3．（2022·天津·十二区县重点校联考一模节选）已知不等式对 恒成立，求整数a的最小值. 【详解】依题意等价于对恒成立. 令，则 令在上是增函数， ， 所以，使即 对，，，所以在上单调递增； 对，，，所以在上单调递减. 所以. 所以. 又，所以整数a的最小值2 4.已知函数 （1）讨论的导函数的零点的个数 （2）证明：当时， 【详解】由，得到，的定义域为， 的零点个数的交点个数， ①时，显然无零点； ②时，有1个零点； ③时，无零点。 （2）由（1）知时，存在唯一使， 且时，，单调递减，，时，单调递增， =，得证。 5. 不等式对恒成立，求整数k的最大值． 【详解】由题意知 ， 令，， ， 令， 在单调递增，且， 在存在唯一的零点，设此零点为，则且， 当时，； 当时，. ，由，， 所以的最大值为2. 6. 若函数在上有且仅有一个零点. 求证：此零点是的极值点； 【详解】∵， ∴在单调递增，又因为， ∴，使得，且时，，时，， ∴在上单调递减，上单调递增， ∵在上有且仅有一个零点， ∴此零点为极小值点； 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $