专题01 数列-2023年高考数学【名校冲刺】简答题型突破（全国通用）

专题01数列 1.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 2.设是等差数列，是等比数列．已知． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中． （i）求数列的通项公式； （ii）求． 3.已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． 4.设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 5.设等比数列满足． （1）计算，猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列的前项和． 6.已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 7.设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 8.已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*. (1) 求a1，a2的值； (2) 证明：数列{an}是等比数列； (3) 若(λ－nan)(λ－nan＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值． 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*. (1) 若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式； (2) 若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列． 10.在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1. (1) 求证：数列{an＋n}为等比数列； (2) 记bn＝an＋(1－λ)n，且数列{bn}的前n项和为Tn，若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围． 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ>0.设bn＝ (n∈N*)﹒ (1) 若λ＝3，求数列的通项公式； (2) 若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋×3n(n∈N*)，证明数列是等比数列； (3) 若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围． 12.已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3Tn＝S＋2Sn，n∈N*. (1) 求a1的值； (2) 求数列{an}的通项公式； (3) 若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值． 13.已知数列是等差数列，是其前项和，且． （1）求数列的通项公式; （2）设，求数列的前项和． 14．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 15.已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16.设数列的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若数列中，，，求数列的前项和. 17.已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18.已知数列满足奇数项成等比数列，而偶数项成等差数列，且，，，，数列的前n项和为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，若，试求的最大值． 19.设是数列的前n项和，已知， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20．已知等差数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和 21．已知数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 22．已知数列的首项，，. （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数. 23.已知数列满足数列的前n项和为，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 24.已知数列的前项和为，且，数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前项和. 25.已知数列的前n项和为． （Ⅰ）若为等差数列，求证：； （Ⅱ）若，求证：为等差数列． 26.已知函数，设数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若记，2，3，，，求数列的前项和. 27.已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 28.数列各项都为正数，前项和为，，，当时，. （1）求； （2）求数列的前项和. 29.已知数列是等差数列，若，且，，