第1章 三角形的证明 整合提升-【金榜行动】2022-2023学年八年级数学下册习题课件（北师大版）

第一章　三角形的证明 整合提升 金榜行动 数学　八年级　下册 • BS　 1 ∠A＝∠D等(答案不唯一) C A D A C A D B 直角三角形 36° 全等三角形 【例1】如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请添加一个适当的条件 ，使△ABC≌DEF. 【思路分析】先由条件可得，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，再由三角形全等的判定方法确定条件．(∠A＝∠D或∠B＝∠E或CA＝FD或AB∥ED等)． 等腰三角形的性质与判定 【例2】(东城中考)如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线． (1)求证：AM∥BC； (2)若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由． 【思路分析】(1)由等腰三角形的性质和平行线的判定即可证明； (2)利用平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【规范解答】(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAC，∵AM平分∠EAC，∴∠EAM＝∠MAC＝eq \f(1,2)∠EAC，∴∠MAD＝∠MAC＋∠DAC＝eq \f(1,2)∠EAC＋eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×180°＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠MAD＋∠ADC＝180°，∴AM∥BC； (2)△ADN是等腰直角三角形，理由如下：∵AM∥BC ，∴∠AND＝∠NDC，∵DN平分∠ADC ，∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND, ∴AD＝AN, ∴△ADN是等腰直角三角形． 直角三角形的性质及判定 【例3】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠CBD＝30°，∠BCD＝45°.若AB＝2eq \r(2)，求四边形ABCD的面积． 【思路分析】过点D作DE⊥BC于E，这样将四边形ABCD化成三个特殊的直角三角形，运用直角三角形的性质分别计算三角形面积，再求和即可． 【规范解答】过点D作DE⊥BC，垂足为点E，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝AD，AB＝2eq \r(2)，∴AD＝2eq \r(2)，BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝4，∵DE⊥BC，∠CBD＝30°，∴DE＝eq \f(1,2)BD＝2，BE＝eq \r(BD2－DE2)＝2eq \r(3)，又∵∠BCD＝45°，∴∠EDC＝∠BCD＝45°，∴CE＝DE＝2，∴BC＝2eq \r(3)＋2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq \f(1,2)AB×AD＋eq \f(1,2)BC·DE＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＋eq \f(1,2)×(2eq \r(3)＋2)×2＝6＋2eq \r(3). 线段垂直平分线与角平分线 【例4】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE与∠BAC的角平分线AE交于点E，过点E作EP⊥AB于点P，EQ⊥AC的延长线于点Q，求证：BP＝CQ. 【思路分析】连接EB，EC，由角平分线的性质可得EP＝EQ，由线段垂直平分线的性质得EB＝EC，进而证Rt△BPE≅Rt△CQE，就可得到BP＝CQ. 【规范解答】连接BE、CE，∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∵E为∠BAC角平分线上一点，EP⊥AB，EQ⊥AC，∴PE＝QE，∠EPB＝∠EQC＝90°，在Rt△BEP和Rt△CEQ中，∵BE＝CE，PE＝QE，∴Rt△BEP≌Rt△CEQ，∴BP＝CQ. 一、选择题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于点D，CD＝2，则BD的长为(　　) A．4　 　　 B．5 　　 　 C．6　　 　 D．8 2．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在三角形的内部，则这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．等腰三角形一内角度数为40°，则它的顶角的度数(　　) A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 4．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，作AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则∠BAD的度数为(　　) A．65° B．60° C．55° D．45° 5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为(　　) A．16cm B．18cm C．22cm D．24cm 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(　　) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°