第1章 技巧专题 作辅助线解决等腰三角形问题-【金榜行动】2022-2023学年八年级数学下册习题课件（北师大版）

第一章　三角形的证明 技巧专题　作辅助线解决等腰三角形问题 金榜行动 数学　八年级　下册 • BS　 1 【专题概要】在解决等腰三角形问题时，已知是等腰三角形，经常利用“三线合一”作辅助线，也可以通过“截长补短，折半加倍”来作辅助线从而构造三角形全等． 利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线 1．如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE. 【思路分析】过A作AF⊥BC于F，因为△ABC，△ADE都是等腰三角形，所以由等腰三角形的“三线合一”可得BF＝CF，DF＝EF，从而得到BD＝CE. 证明：过A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC ，AD＝AE ，∴BF＝CF ，DF＝EF ，∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE. 2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180°.求证：ED∥BC. 证明：延长AE交BC于F，∵∠ACE＝∠ECF，AE⊥CE，CE＝CE，∴△ACE≌△FCE(ASA)，∴∠EAC＝∠CFE，∵∠EAC＝∠CFE.∠AED＋∠EAC＝180°，∠CFE＋∠AFB＝180°，∴∠AED＝∠AFB，∴ED∥BC. 3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE. 证明：延长BA和CE交于点M，∵CE⊥BD ，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∵BD平分∠ABC ，∴∠MBE＝∠CBE ，又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC＝eq \f(1,2)MC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC, ∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∵∠BEC＝90°， ∴∠ACM＋∠CDE＝90°，∵∠BDA＝∠EDC, ∴∠ABD＝∠ACM ，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAM，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE. 利用截长补短法构造等腰三角形中的全等 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：BC＝AB＋CD. 【思路分析】在BC上取一点E，使BE＝BA，然后在△DEC中证CD＝CE即可． 证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD ，又∵BD＝BD, ∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°， ∴∠CED＝180°－∠BED＝72°， 又∵AB＝AC ，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝(180°－108°)×eq \f(1,2)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB－∠CED＝72°， ∴∠CDE＝∠DEC, ∴CD＝CE, ∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD. 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形外一点，且∠ABD＝60°，BD＋DC＝AB.求证：∠ACD＝60°. 证明：延长BD至E，使CD＝DE，连接AE、AD，∵BD＋CD＝AB ，BE＝BD＋DE, ∴BE＝AB, ∵∠ABD＝60° ，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝AC，∠E＝60°， 在△ACD和△ADE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AC＝AE,CD＝DE,AD＝AD))，∴△ACD≌△ADE(SSS), ∴∠ACD＝∠E＝60°. 利用平行线构造等腰三角形中的全等 6．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长． 【思路分析】过P作PF/∥BC，交AC于F，易证△APF为等边三角形，△PFD≌△QCD，进而可证PD＝DQ. (1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ； (2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝eq \f(1,2)AF＋eq \f(1,2)CF＝eq \f(1,2)AC，又∵AC＝1，∴DE＝eq \f(1,2). $