外接球 例题视频讲解+训练-2023届高三数学二轮复习

练习题 几何体外接球这类典型题综合性比较强。要有作图能力，空间想象能力，计算能力，关键是将几何体与球相联系。假如结合提示仍不能独立做出，请看视频讲解。看视频时关注解题思路。祝你进步！建议认真读读第6题的提示。 1.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,BD⊥DC,DC=2,∠BCD=60°,将⊿ABD沿BD折起使得平面PBD⊥平面BCD,求四面体PBCD外接球表面积。 2．已知A,B,C,D是半径为4的球面上的四点，且AB=5,BC=3,cos∠BAC=,当AD取得最大值时，求四面体ABCD的体积。 3．正六棱锥P-ABCDEF中，侧棱长为4，底面边长为2，点Q为正六棱锥P-ABCCDEF的外接球上动点，求三棱锥Q-PAB体积最大值。 4.在四面体ABCD中,∠ABC=∠CBD=∠DBA=60°,BC=BD=2,E是CD中点，⊿ABE面积是，则AB与平面BCD所成角正弦值为 ，此四面体外接球体积是 。 5.如图，在四棱锥S-ABCD中,AD∥BC，AB=BC=CD=2,SA=AD=DS=4,P是侧棱SA的中点,则四棱锥P-ABCD外接球表面积是 . 6．在四棱锥S-ABCD中,AD∥BC，AB=BC=CD=2,SA=AD=DS=4,当平面SAD⊥平面ABCD时，四棱锥P-ABCD外接球表面积是 . 参考答案： 1.16π 提示：关键是由平面PBD⊥平面BCD就想到页面垂直性质定理（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面）这样可以证明CD⊥平面PBD。进一步证明BP⊥平面PCD,∴BP⊥PC,。∴⊿PBC和⊿DBC是相同斜边的直角三角形，∴BC是外接球直径。 当然，也可以过三角形BCD外心（即BC中点）作平面BCD的垂线，球心必在此直线上，再在此垂线上找与P,B等距离的点（即球心）这种作法不如前面的灵活。 2．2 提示：首先可以求得AC=4，当AD取得最大值时，即AD是球直径。三棱锥A-BCD的高是球心到平面BCD距离的2倍，AB是截面直径，所以可以求出球心到截面距离。 3． 提示：先求外接球半径。因为球心在高PO1上， 可求得PO1=，(=2) 设球半径为R，则 ∴R= 因为三棱锥Q-PAB底面积是(三边长已知，面积可求 )，所以高最大时，体积最大。高的最大值是球心到平面PAB的距离加球半径。球心到平面PAB的距离应先求⊿PAB的外接圆半径(即球的截面半径,可以用正弦定理)，再用球心到截面距离公式。 4.， 提示：需要用到结论：如果∠AOB和∠AOC所在平面垂直 则，cos∠BOC =cos∠AOB ·cos∠AOC。 本题中，∵BC=BD,AC=AD(⊿ABC和⊿ABD全等)，E是CD中点，∴CD⊥BE,CD⊥AE,∴∠ABE和∠EBC所在平面垂直, 则cos∠ABC =cos∠ABE ·cos∠EBC。 ∠ABE是AB与平面BCD所成角，∠EBC=30°。根据⊿ABE面积是，可以求得AB=4，所以，∠ACB=∠ADB=90°,所以AB中点是四面体的外接球球心。 多说一句，这个四面体是这样的。前图只是示意图。 5．16π 提示：这个几何体有点特别。即四棱锥S-ABCD是动四棱锥。因此，四棱锥P-ABCD也是动四棱锥。(通常动棱锥的外接球也是动的，但本题例外) 已知条件给定底面ABCD是一个等腰梯形，AB=BC=CD, AD=2AB，所以取AD中点E，可证EA=EB=EC=ED。 即，E到A、B、C、D四点距离。 所以外接球球心在过点E垂直平面ABCD的直线上。 S-ABCD中，已知⊿SAB是正三角形，P是SA中点，所以，EP=EA=EB=2。 所以，E是四棱锥P-ABCD外接球球心。外接球半径为2， 所以，外接球表面积是16π 6. 提示：这个第6题就是将前面的第5题经过增加条件 “当平面SAD⊥平面ABCD时”将四棱锥S-ABCD 确定。 由条件“当平面SAD⊥平面ABCD时”可以证明SE⊥平面ABCD。 同第5题分析一样，S-ABCD外接球球心在SE上。 即在SE上找一点O，使得OA=OS，因为⊿SAD是等边三角形所以，O是⊿SAD的中心，所以外接球半径是… 也可以把增加条件改为“当四棱锥S-ABCD体积最大时”或“当SA=SC时”或“当SC与平面ABCD所成角是60°时”结果都是相同的。因为所增加的条件都可以推出“平面SAD⊥平面ABCD”。 体会一下，最后这段是不是将题做活了！。 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $