重难突破06 一次函数之综合问题-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

重难突破06 一次函数之综合问题 一、【知识回顾】 【思维导图】 【知识清单】 二、【考点类型】 考点1：一次函数与等腰三角形 典例1：1．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)点Q为直线上一动点，当点Q运动到何位置时，的面积等于？请求出点Q的坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点、的坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点，根据的面积，求解即可； （3）设点，分别表示出，，，分别讨论当时，当时，当时，建立方程，求解即可． 【详解】（1）∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3， ∴， 则点， 将点、的坐标代入一次函数表达式中，得， 解得：，， 所以一次函数的表达式为； （2）设点，则的面积， 解得：或1.5， 故点或； （3）设点，而点A、B的坐标分别为：， 则，，， 当时，，解得：或； 当时，同理可得：（舍去）或2； 当时，同理可得：； 综上点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图像相交于点A，且分别与x轴交于点B、C. (1)求A点坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若点D在y轴上，当是等腰三角形时，请直接写出点D坐标. 【答案】(1)A的坐标为； (2)是等腰三角形，理由见解析； (3)，，，， 【分析】（1）联立方程组，求出方程组的解即可； （2）分别求出点B和点C的坐标，过点A作BC的垂线，垂足为D，可得，再判断形状即可； （3）由与y轴不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，设点D的坐标为，根据两点间距离公式求出的长，再分，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）∵一次函数与的图像相交于点A， ∴ 解得 ∴A的坐标为； （2）是等腰三角形. 证明：∵， ∴当时，， ∴. ∵， ∴当时，， ∴. 过点A作BC的垂线，垂足为D，则点D的坐标为， ∴， 又∵， ∴直线AD是线段BC的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形； （3）由与y轴不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，设点D的坐标为， ∵, ∴ ①当时，， 解得， ∴点D的坐标为； ②当时， 解得， ∴点D的坐标为； ③当时，同理可得：, ∵,, ∴此时为中点，不构成三角形，舍去； 综上，点D的坐标为，，， 【点睛】本题主要考查了两条直线相交的问题以及等腰三角形的性质，正确理解题意是解答本题的关键 【变式2】（2023春·重庆涪陵·八年级西南大学附中校考开学考试）如图，直线的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接． (1)求线段的长； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，求出点的坐标，设，由折叠的性质可得，利用勾股定理求解即可； （2）先求出点的坐标，然后由，即可获得答案； （3）设点，分三种情况利用等腰三角形两腰相等的性质，建立方程并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ∴点， 令，则有，解得， ∴点， 设， ∵将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点， ∴， 在中，可有， 即，解得， ∴线段的长为； （2）如下图，连接， ∵点是点关于轴的对称点，线段的长为， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ； （3）∵线段的长为， ∴， 设点， ∵点， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴①当时，可有， 解得， ∴点的坐标为； ②当时，可有， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； ③当时，可有， 解得或， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特征、折叠的性质、勾股定理、三角形面积、等腰三角形的性质等知识，利用方程思想、数形结合思想分析问题是解题关键． 【变式3】（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考开学考试）模型建立： 如图1，在等腰直角中，，，直线经过点，，． 模型应用： (1)求证：； (2)已知直线：与、 轴分别交于点、，直线过点，且与的夹角等于，如图，求直线的函数表达式.； (3)如图3，在长方形 中，点，点 是线段 上一动点，，已知点 在第