专题06 向量法与几何定义法求空间角-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之立体几何(新高考适用)

专题06 向量法与几何定义法求空间角 【必备知识点】 一、几何定义法求异面直线所成角 求两条异面直线所成的角的大小,一般方法是通过平行移动直线,将异面直线所成的角的问题转化为平面中角的问题,通过解三角形,计算得到所求的角.根据空间等角定理及推论,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,所以顶点的选择要与已知量有关,以便于计算.若在几何体内作平行线比较苦难,可以补形后,再作平行线,加以解决. 求角的步骤是:一作、二证、三求. 作:通过作平行线,得到相交直线. 证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角). 求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或是直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是所求的角. 1．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 2．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得. 故选：C 3．如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，F为的中点，E为母线BC的中点，异面直线AC与EF所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平行线寻找异面直线所成角，再运用线面垂直判定定理及线面垂直性质定理证得，进而求得半径r，代入圆柱体积公式计算即可. 【详解】如图所示， 取AB的中点O，连接OE、OF，因为E为母线BC的中点，所以，所以为异面直线、所成的角或其补角，则， 设圆柱的底面圆半径为r，则， 又因为F为的中点，所以，， 又因为，，面，所以面， 又因为面，所以， 在中，， 所以在中，，解得：. 所以圆柱的体积为. 故选：B. 4．如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，． 由已知，又，所以是平行四边形，， 同时可得是中点，而是中点，所以． 所以，则是异面直线与所成的角（或补角）． 又，平面，则平面，平面，则， 设，则，从而，，，，， 故，，．在中，由余弦定理可得．所以异面直线与所成的角的余弦值为．故选：B． 二、向量法求异面直线所成角 设空间直线的方向向量分别为,其夹角为所成角的大小为,则或,所以. 利用向量法求异面直线所成角的一般步骤: (1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)求出两直线的方向向量； (3)代入公式 求解. (4)两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是, 当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成角. 5．如图，在正方体中，棱长为为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求得，由求解. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故选：A 6．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在点O建立空间直角坐标系．观察图像可知，借助向量坐标法求解即可. 【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设， 则根据题意可得， 所以， 设异面直线与所成角为， 则．故选：A. 7．已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】C 【分析】以D为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解. 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设，则，，，，所以，所以，.因为直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，也即. 故选：C. 8．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底，求，，，结